Номер 647, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 647, страница 166.

647 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

По условию задачи, периметр треугольника $CDE$ равен 55 см. В треугольник вписан ромб $DMFN$ таким образом, что его вершины $M, F, N$ лежат на сторонах $CD, CE, DE$ соответственно. Это означает, что четвертая вершина ромба $D$ совпадает с вершиной треугольника $CDE$.

Нам даны длины отрезков $CF = 8$ см и $EF = 12$ см. Так как точка $F$ является вершиной ромба и лежит на стороне $CE$, то длина стороны $CE$ равна сумме длин этих отрезков:$CE = CF + EF = 8 + 12 = 20$ см.

Пусть сторона ромба $DMFN$ равна $a$. Тогда $DM = MF = FN = ND = a$.Вершины ромба $M$ и $N$ лежат на сторонах $CD$ и $DE$ треугольника, значит $DM$ и $DN$ являются сторонами ромба, исходящими из общей вершины $D$. Следовательно, $DM = DN = a$.

Согласно свойству ромба, его противоположные стороны параллельны.Сторона $MF$ параллельна стороне $DN$. Поскольку $N$ лежит на $DE$, то $MF \parallel DE$.Аналогично, сторона $FN$ параллельна стороне $DM$. Поскольку $M$ лежит на $CD$, то $FN \parallel CD$.

Рассмотрим $\triangle CDE$. Так как $MF \parallel DE$ (причем $M \in CD, F \in CE$), то $\triangle CMF$ подобен $\triangle CDE$.Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:$\frac{CF}{CE} = \frac{CM}{CD} = \frac{MF}{DE}$Длина отрезка $CM$ выражается как $CM = CD - DM = CD - a$. Подставляя известные значения, получаем:$\frac{8}{20} = \frac{CD - a}{CD} = \frac{a}{DE}$Из этого соотношения можно вывести два уравнения. Упростим $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$:1) $\frac{CD - a}{CD} = \frac{2}{5} \implies 1 - \frac{a}{CD} = \frac{2}{5}$2) $\frac{a}{DE} = \frac{2}{5} \implies a = \frac{2}{5}DE$

Далее, так как $FN \parallel CD$ (причем $F \in CE, N \in DE$), то $\triangle EFN$ подобен $\triangle ECD$.Из подобия следует соотношение сторон:$\frac{EF}{EC} = \frac{FN}{CD}$Подставляя известные значения, получаем:$\frac{12}{20} = \frac{a}{CD}$Упростим $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$. Таким образом:3) $\frac{a}{CD} = \frac{3}{5} \implies a = \frac{3}{5}CD$

Теперь у нас есть два выражения для длины стороны ромба $a$: $a = \frac{2}{5}DE$ и $a = \frac{3}{5}CD$.Приравнивая их, находим связь между сторонами $CD$ и $DE$:$\frac{2}{5}DE = \frac{3}{5}CD$$2DE = 3CD \implies DE = \frac{3}{2}CD$.

Используем данное значение периметра треугольника $CDE$:$P_{CDE} = CD + DE + CE = 55$ см.Подставим найденное значение $CE=20$ см:$CD + DE + 20 = 55$$CD + DE = 35$

Теперь решим систему уравнений для $CD$ и $DE$:1) $DE = \frac{3}{2}CD$2) $CD + DE = 35$
Подставим выражение для $DE$ из первого уравнения во второе:$CD + \frac{3}{2}CD = 35$$\frac{5}{2}CD = 35$$CD = 35 \cdot \frac{2}{5} = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Теперь, зная $CD$, находим $DE$:$DE = \frac{3}{2}CD = \frac{3}{2} \cdot 14 = 3 \cdot 7 = 21$ см.

Ответ: $CD = 14$ см, $DE = 21$ см.