Номер 646, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 646, страница 166.

646 В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МK. Найдите отрезки NE и ЕK, если MN = 7 см, NK = 6 см, MK = 5 см.

По условию задачи, в треугольник $MNK$ вписан ромб $MDEF$ так, что его вершина $M$ совпадает с вершиной треугольника, а вершины $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $MN$, $NK$ и $MK$ соответственно. Даны длины сторон треугольника: $MN = 7$ см, $NK = 6$ см, $MK = 5$ см.

Обозначим сторону ромба через $x$. Тогда по определению ромба все его стороны равны: $MD = DE = EF = FM = x$.

У ромба противоположные стороны параллельны, следовательно, $DE \parallel MF$. Поскольку точка $F$ лежит на стороне $MK$, то прямая $MF$ является частью прямой $MK$. Таким образом, мы имеем параллельные прямые $DE \parallel MK$.

Рассмотрим треугольник $NMK$ и треугольник $NDE$.

• Угол $\angle N$ у них общий.
• Углы $\angle NDE$ и $\angle NMK$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $MK$ и секущей $MN$.

Из этого следует, что треугольник $NDE$ подобен треугольнику $NMK$ по двум углам, то есть $\triangle NDE \sim \triangle NMK$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{ND}{NM} = \frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}$

Выразим длины отрезков в этой пропорции через известные данные и переменную $x$:

• $NM = 7$ см
• $NK = 6$ см
• $MK = 5$ см
• $DE = x$ (сторона ромба)
• $ND = NM - MD = 7 - x$

Для нахождения $x$ воспользуемся равенством первого и третьего отношений в пропорции:

$\frac{ND}{NM} = \frac{DE}{MK}$

Подставим значения:

$\frac{7 - x}{7} = \frac{x}{5}$

Решим это уравнение относительно $x$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5(7 - x) = 7x$

$35 - 5x = 7x$

$35 = 12x$

$x = \frac{35}{12}$

Итак, длина стороны ромба $DE$ равна $\frac{35}{12}$ см. Теперь мы можем найти искомые отрезки $NE$ и $EK$.

Воспользуемся равенством второго и третьего отношений в пропорции подобия:

$\frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}$

Подставим известные значения и найденное значение $x$:

$\frac{NE}{6} = \frac{35/12}{5}$

$\frac{NE}{6} = \frac{35}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{NE}{6} = \frac{7}{12}$

Отсюда находим $NE$:

$NE = 6 \cdot \frac{7}{12} = \frac{42}{12} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.

Точка $E$ делит сторону $NK$ на два отрезка: $NE$ и $EK$. Следовательно, $NK = NE + EK$. Найдем $EK$:

$EK = NK - NE = 6 - 3.5 = 2.5$ см.

Ответ: $NE = 3.5$ см, $EK = 2.5$ см.