Номер 639, страница 162 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 639, страница 162.

639 На клетчатой бумаге (рис. 219) изображены многоугольники. Найдите их площади.

Для нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, можно использовать различные методы. Учитывая, что сторона каждой клетки равна 1 см, площадь одной клетки составляет $1 \text{ см}^2$.

а)

Данный многоугольник является квадратом, повернутым на 45 градусов, который также можно рассматривать как ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Из рисунка видно, что диагонали этого ромба параллельны сторонам клеток сетки. Длина горизонтальной диагонали $d_1 = 4$ см. Длина вертикальной диагонали $d_2 = 4$ см.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.

б)

Для нахождения площади этого многоугольника удобно воспользоваться формулой Пика, так как все его вершины лежат в узлах сетки. Формула Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество узлов сетки внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов на его границе.

1. Сначала подсчитаем количество узлов на границе ($B$). Фигура имеет 4 вершины. Проверив каждый отрезок, соединяющий вершины, убеждаемся, что на них нет других узлов сетки. Таким образом, $B = 4$.

2. Теперь подсчитаем количество узлов внутри многоугольника ($I$), просматривая сетку по строкам:

• на второй строке снизу (y=2): 4 узла;
• на третьей строке (y=3): 4 узла;
• на четвертой строке (y=4): 4 узла.

Всего внутренних узлов: $I = 4 + 4 + 4 = 12$.

3. Применим формулу Пика:

$S = 12 + \frac{4}{2} - 1 = 12 + 2 - 1 = 13 \text{ см}^2$.

Ответ: $13 \text{ см}^2$.

в)

Данный многоугольник является трапецией, основания которой параллельны горизонтальным линиям сетки.

Длина верхнего основания $a$ составляет 4 клетки, то есть $a = 4$ см.

Длина нижнего основания $b$ составляет 3 клетки, то есть $b = 3$ см.

Высота трапеции $h$ — это расстояние между основаниями, которое составляет 4 клетки, то есть $h = 4$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2}h$

$S = \frac{4 \text{ см} + 3 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см} = \frac{7}{2} \cdot 4 \text{ см}^2 = 14 \text{ см}^2$.

Ответ: $14 \text{ см}^2$.

г)

Используем формулу Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$.

1. Подсчитаем узлы на границе ($B$). Фигура имеет 4 вершины, и между ними на сторонах нет других узлов. Таким образом, $B = 4$.

2. Подсчитаем внутренние узлы ($I$):

• на второй строке снизу (y=2): 2 узла;
• на третьей строке (y=3): 3 узла;
• на четвертой строке (y=4): 3 узла.

Всего внутренних узлов: $I = 2 + 3 + 3 = 8$.

3. Применим формулу Пика:

$S = 8 + \frac{4}{2} - 1 = 8 + 2 - 1 = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: $9 \text{ см}^2$.

д)

Данный многоугольник является невыпуклым. Для него также применима формула Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$.

1. Подсчитаем узлы на границе ($B$). Фигура имеет 6 вершин. На отрезках, соединяющих вершины, нет других узлов сетки. Таким образом, $B = 6$.

2. Подсчитаем внутренние узлы ($I$):

• на второй строке снизу (y=2): 2 узла;
• на третьей строке (y=3): 4 узла;
• на четвертой строке (y=4): 3 узла.

Всего внутренних узлов: $I = 2 + 4 + 3 = 9$.

3. Применим формулу Пика:

$S = 9 + \frac{6}{2} - 1 = 9 + 3 - 1 = 11 \text{ см}^2$.

Ответ: $11 \text{ см}^2$.