Номер 633, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 633, страница 161.

633 В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника AOB, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $AD$ и $BC$ — основания трапеции.

Докажем важное свойство трапеции: площади треугольников, образованных пересечением диагоналей и прилегающих к боковым сторонам, равны. В нашем случае это означает, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин $B$ и $C$ к прямой $AD$, равны между собой, так как обе они равны высоте трапеции. Следовательно, площади этих треугольников равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$

Аналогично, площадь треугольника $\triangle ACD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Так как $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, мы можем приравнять правые части выражений:

$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Вычитая из обеих частей равенства $S_{\triangle AOD}$, получаем, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника $AOB$, нам достаточно вычислить площадь треугольника $COD$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — сторона треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

По условию задачи, боковая сторона $CD = 12$ см. Расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ — это высота треугольника $COD$, проведенная к стороне $CD$. Эта высота равна $5$ см.

Вычислим площадь треугольника $COD$:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 6 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 30 \text{ см}^2$.

Поскольку $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$, искомая площадь треугольника $AOB$ также равна $30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.