Номер 628, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 628, страница 160.

628 Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть первый квадрат, назовем его $S_1$, расположен так, что одна из его вершин находится в начале координат $A(0,0)$, а две его стороны лежат на осях координат. Тогда вершины квадрата $S_1$ будут $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$ и $D(0,a)$. Этот квадрат занимает область $0 \le x \le a$, $0 \le y \le a$.

Диагональ этого квадрата, исходящая из общей вершины $A$, — это отрезок $AC$, который лежит на прямой $y=x$.

Второй квадрат, назовем его $S_2$, также имеет сторону длиной $a$ и общую вершину $A(0,0)$. По условию, одна из его сторон лежит на диагонали квадрата $S_1$. Пусть эта сторона — $AP$, где $P$ — другая вершина квадрата $S_2$. Точка $P$ лежит на прямой $y=x$, а длина отрезка $AP$ равна $a$. Найдем координаты точки $P(x_P, y_P)$.

Так как $P$ лежит на $y=x$, то $x_P = y_P$. Расстояние от $A(0,0)$ до $P$ равно $a$:
$\sqrt{x_P^2 + y_P^2} = a \implies \sqrt{x_P^2 + x_P^2} = a \implies \sqrt{2x_P^2} = a \implies x_P\sqrt{2} = a$.
Отсюда $x_P = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Таким образом, координаты вершины $P$ равны $(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$.

Общая часть двух квадратов — это многоугольник, расположенный в первом квадранте. Найдем вершины этого многоугольника, чтобы вычислить его площадь. Область пересечения ограничена сторонами квадрата $S_1$ (осями координат и прямыми $x=a$, $y=a$) и сторонами квадрата $S_2$.

Рассмотрим стороны квадрата $S_2$, исходящие из вершины $A$. Одна сторона — $AP$ на прямой $y=x$. Вторая сторона $AR$ должна быть перпендикулярна $AP$, то есть лежать на прямой $y=-x$. Эта сторона не входит в первый квадрант (кроме точки $A$), поэтому не вносит вклада в площадь пересечения, кроме как ограничивая ее в точке $A$.

Теперь рассмотрим сторону $S_2$, смежную со стороной $AP$, — это сторона $PQ$. Она перпендикулярна $AP$, значит, ее угловой коэффициент равен $-1$. Уравнение прямой, содержащей $PQ$, проходит через точку $P(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$:

$y - y_P = -1(x - x_P) \implies y - \frac{a}{\sqrt{2}} = -(x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies y = -x + \frac{2a}{\sqrt{2}} \implies y = -x + a\sqrt{2}$.

Найдем точки пересечения этой прямой со сторонами квадрата $S_1$ ($y=a$ и $x=a$):

• Пересечение с прямой $y=a$:
  $a = -x + a\sqrt{2} \implies x = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2}-1)$.
  Назовем эту точку $N$. Ее координаты $N(a(\sqrt{2}-1), a)$. Так как $0 < \sqrt{2}-1 < 1$, точка $N$ лежит на верхней стороне $CD$ квадрата $S_1$.
• Вершина $Q$ квадрата $S_2$ находится на расстоянии $a$ от $P$ вдоль прямой $y=-x+a\sqrt{2}$. Ее координаты $Q(0, a\sqrt{2})$, что находится за пределами квадрата $S_1$.

Таким образом, общая часть двух квадратов представляет собой четырехугольник $APND$, вершины которого имеют следующие координаты:

• $A(0,0)$ — общая вершина.
• $P(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$ — вершина квадрата $S_2$.
• $N(a(\sqrt{2}-1), a)$ — точка пересечения стороны $S_2$ со стороной $S_1$.
• $D(0,a)$ — вершина квадрата $S_1$.

Для вычисления площади четырехугольника $APND$ разобьем его на два треугольника: $\triangle APD$ и $\triangle PND$.

1. Площадь треугольника $\triangle APD$.
Основание $AD$ лежит на оси $y$, его длина равна $a$. Высота, опущенная из вершины $P$ на основание $AD$, равна абсциссе точки $P$, то есть $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
$S_{\triangle APD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}}$.

2. Площадь треугольника $\triangle PND$.
Основание $ND$ лежит на прямой $y=a$, его длина равна разности абсцисс точек $N$ и $D$:
$|ND| = x_N - x_D = a(\sqrt{2}-1) - 0 = a(\sqrt{2}-1)$.
Высота, опущенная из вершины $P$ на прямую $y=a$, равна разности ординат $a$ и $y_P$:
$h = a - y_P = a - \frac{a}{\sqrt{2}} = a(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = a\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
$S_{\triangle PND} = \frac{1}{2} \cdot |ND| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a(\sqrt{2}-1) \cdot a\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}}$.

Общая площадь $S$ равна сумме площадей этих треугольников:
$S = S_{\triangle APD} + S_{\triangle PND} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} + \frac{a^2(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} \left(1 + (\sqrt{2}-1)^2\right)$.
$S = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} (1 + 2 - 2\sqrt{2} + 1) = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} (4 - 2\sqrt{2}) = \frac{a^2 \cdot 2(2 - \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{a^2(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$.
$S = a^2\left(\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = a^2(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $a^2(\sqrt{2}-1)$.