Номер 623, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 623, страница 160.

623 Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

а)

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию, мы имеем равнобедренную трапецию, у которой меньшее основание $b = 18$ см, высота $h = 9$ см и острый угол при основании равен $45^\circ$. Нам необходимо найти длину большего основания $a$.

Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Эти высоты отсекают от трапеции два равных прямоугольных треугольника по бокам. Рассмотрим один из таких треугольников. Его катетами являются высота трапеции $h$ и отрезок $x$, который является частью большего основания. Гипотенузой является боковая сторона трапеции.

Один из острых углов этого треугольника равен острому углу трапеции, то есть $45^\circ$. Так как треугольник прямоугольный, то второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Таким образом, отрезок $x$ равен высоте $h$:
$x = h = 9$ см.

Большее основание $a$ состоит из меньшего основания $b$ и двух таких отрезков $x$ (по одному с каждой стороны):
$a = b + 2x = 18 + 2 \cdot 9 = 18 + 18 = 36$ см.

Теперь, когда известны оба основания и высота, мы можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{36 + 18}{2} \cdot 9 = \frac{54}{2} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243$ см².

Ответ: 243 см².

б)

По условию, мы имеем равнобедренную трапецию, основания которой равны $a = 30$ см и $b = 16$ см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями существует свойство: ее высота равна полусумме оснований (средней линии).

Докажем это. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Они делят трапецию на четыре треугольника. Так как трапеция равнобедренная, треугольники, прилежащие к основаниям ($\triangle BOC$ и $\triangle AOD$), являются равнобедренными. Поскольку диагонали перпендикулярны, эти треугольники являются еще и прямоугольными. Высота трапеции, проходящая через точку O, складывается из высот этих двух треугольников ($h_1$ и $h_2$), проведенных из вершины O к основаниям. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, высота треугольника, прилежащего к меньшему основанию, $h_1 = \frac{b}{2}$, а высота треугольника, прилежащего к большему основанию, $h_2 = \frac{a}{2}$.

Полная высота трапеции $h$ равна сумме этих высот:
$h = h_1 + h_2 = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Вычислим высоту нашей трапеции:
$h = \frac{30 + 16}{2} = \frac{46}{2} = 23$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции по стандартной формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
Заметим, что в данном случае $\frac{a+b}{2} = h$, поэтому площадь равна квадрату высоты: $S=h^2$.
$S = 23 \cdot 23 = 529$ см².

Ответ: 529 см².