Номер 626, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 626, страница 160.

626 Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD² + BC² = AB² + CD².

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Поскольку диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), они делят четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$, так как все углы при вершине $O$ являются прямыми ($90^\circ$).

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В $\triangle AOB$ (гипотенуза $AB$): $AB^2 = AO^2 + BO^2$
В $\triangle BOC$ (гипотенуза $BC$): $BC^2 = BO^2 + CO^2$
В $\triangle COD$ (гипотенуза $CD$): $CD^2 = CO^2 + DO^2$
В $\triangle DOA$ (гипотенуза $AD$): $AD^2 = AO^2 + DO^2$

Нам необходимо доказать, что $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства и подставим в неё выражения для $AD^2$ и $BC^2$, полученные из теоремы Пифагора:
$AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2)$

Теперь рассмотрим правую часть равенства и подставим в неё выражения для $AB^2$ и $CD^2$:
$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

Раскрыв скобки в обоих выражениях, мы видим, что они равны одной и той же сумме квадратов отрезков диагоналей:
$AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

Так как левая и правая части доказываемого равенства равны одному и тому же выражению, то они равны между собой. Таким образом, мы доказали, что $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$.

Ответ: Утверждение доказано.