Номер 620, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 620, страница 160.

620 Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны равны $AB = BC = 20$ см, а углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = 30°$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ – две стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

Сначала найдем угол при вершине $B$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°$.

Теперь вычислим площадь, используя боковые стороны $AB$, $BC$ и угол $\angle ABC$ между ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin(120°)$.

Значение синуса $120°$ можно найти через формулу приведения: $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $100\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, так что $AB=BC$. Пусть $AH$ – высота, проведенная к боковой стороне $BC$. По условию, $AH = 6$ см. Угол между этой высотой и основанием $AC$ равен $\angle HAC = 45°$.

Поскольку $AH$ – высота к стороне $BC$, то $AH \perp BC$, и следовательно, треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AHC = 90°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Сумма его острых углов равна $90°$. Отсюда находим угол $\angle HCA$:
$\angle HCA = 90° - \angle HAC = 90° - 45° = 45°$.

Угол $\angle HCA$ является углом при основании равнобедренного треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle BCA = 45°$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то второй угол при основании, $\angle BAC$, также равен $45°$.

Найдем угол при вершине $B$:
$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (45° + 45°) = 90°$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ – сторона, а $h_a$ – высота, проведенная к ней. В нашем случае $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Нам известна высота $AH=6$ см, необходимо найти длину стороны $BC$.

Длину $BC$ можно найти, используя тригонометрические соотношения. Сначала найдем длину основания $AC$ из прямоугольного треугольника $AHC$:
$\sin(\angle HCA) = \frac{AH}{AC} \implies AC = \frac{AH}{\sin(\angle HCA)} = \frac{6}{\sin(45°)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$, который, как мы выяснили, является прямоугольным ($\angle B = 90°$). В нем $AC$ является гипотенузой, а $BC$ - катетом. Связь между ними:
$\cos(\angle BCA) = \frac{BC}{AC} \implies BC = AC \cdot \cos(\angle BCA) = 6\sqrt{2} \cdot \cos(45°) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 6$ см.

Наконец, вычисляем площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см$^2$.

Ответ: $18$ см$^2$.