Номер 614, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 614, страница 159.

614 Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Доказательство:

Это утверждение известно как теорема Вивиани. Для доказательства воспользуемся методом площадей.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $H$. Выберем произвольную точку $P$, лежащую внутри этого треугольника. Обозначим перпендикулярные расстояния от точки $P$ до сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $h_1$, $h_2$ и $h_3$ соответственно. Нам нужно доказать, что сумма $h_1 + h_2 + h_3$ является постоянной величиной.

Соединим точку $P$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разделит большой треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle PBC$, $\triangle PCA$ и $\triangle PAB$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников:
$S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB}$

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через его сторону $a$ и высоту $H$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a H$

Теперь найдем площади трех меньших треугольников. В каждом из них сторона большого треугольника ($a$) служит основанием, а соответствующее расстояние от точки $P$ ($h_1, h_2, h_3$) — высотой.
Площадь $\triangle PBC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1$
Площадь $\triangle PCA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2$
Площадь $\triangle PAB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_3$

Подставим выражения для площадей маленьких треугольников в исходное равенство:
$S_{ABC} = \frac{1}{2}ah_1 + \frac{1}{2}ah_2 + \frac{1}{2}ah_3$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}a$ за скобки:
$S_{ABC} = \frac{1}{2}a(h_1 + h_2 + h_3)$

Теперь мы имеем два выражения для площади треугольника $ABC$. Приравняем их:
$\frac{1}{2}aH = \frac{1}{2}a(h_1 + h_2 + h_3)$

Поскольку длина стороны $a \neq 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}a$:
$H = h_1 + h_2 + h_3$

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. Так как высота $H$ для данного треугольника является постоянной величиной, то и сумма этих расстояний не зависит от положения точки $P$ внутри треугольника.

Ответ: Сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника. Следовательно, эта сумма не зависит от положения точки.