Номер 615, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 615, страница 159.

615* Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны AB и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.

Пусть дан треугольник $ABC$. На его стороне $BC$ выбрана точка $D$. Через точку $D$ проведены прямые, параллельные двум другим сторонам: прямая, параллельная стороне $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ (то есть, $DE \parallel AC$), а прямая, параллельная стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $F$ (то есть, $DF \parallel AB$).

Требуется доказать, что треугольники $CDE$ и $BDF$ равновеликие, то есть их площади равны. Обозначим площади этих треугольников как $S_{CDE}$ и $S_{BDF}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: половина произведения длины основания на высоту.

Для треугольника $CDE$ в качестве основания выберем отрезок $CD$, лежащий на прямой $BC$. Высота, проведенная к этому основанию из вершины $E$, будет равна длине перпендикуляра $h_E$, опущенного из точки $E$ на прямую $BC$. Площадь треугольника $CDE$ выражается как: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_E$.

Для треугольника $BDF$ в качестве основания выберем отрезок $BD$, также лежащий на прямой $BC$. Высота, проведенная к этому основанию из вершины $F$, будет равна длине перпендикуляра $h_F$, опущенного из точки $F$ на прямую $BC$. Площадь треугольника $BDF$ выражается как: $S_{BDF} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_F$.

Таким образом, для доказательства равенства площадей $S_{CDE} = S_{BDF}$ нам необходимо доказать, что $CD \cdot h_E = BD \cdot h_F$.

Выразим высоты $h_E$ и $h_F$ через стороны и углы треугольника $ABC$. Поскольку точка $E$ лежит на стороне $AB$, то из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_E$ и гипотенузой $BE$, мы можем найти высоту: $h_E = BE \cdot \sin(\angle B)$. Аналогично, поскольку точка $F$ лежит на стороне $AC$, то $h_F = CF \cdot \sin(\angle C)$.

Подставим эти выражения для высот в равенство, которое мы доказываем: $CD \cdot BE \cdot \sin(\angle B) = BD \cdot CF \cdot \sin(\angle C)$.

Теперь применим обобщенную теорему Фалеса (или рассмотрим подобные треугольники). Из условия $DE \parallel AC$ следует, что $\triangle BDE \sim \triangle BCA$. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{BE}{AB} = \frac{BD}{BC} \implies BE = AB \cdot \frac{BD}{BC}$.

Из условия $DF \parallel AB$ следует, что $\triangle CDF \sim \triangle CBA$. Из подобия этих треугольников следует: $\frac{CF}{AC} = \frac{CD}{BC} \implies CF = AC \cdot \frac{CD}{BC}$.

Подставим найденные выражения для $BE$ и $CF$ в наше уравнение: $CD \cdot \left(AB \cdot \frac{BD}{BC}\right) \cdot \sin(\angle B) = BD \cdot \left(AC \cdot \frac{CD}{BC}\right) \cdot \sin(\angle C)$.

Сократим обе части равенства на $BC$ и на $CD \cdot BD$ (эти величины не равны нулю, так как $D$ — точка на стороне $BC$, не совпадающая с вершинами). Получим: $AB \cdot \sin(\angle B) = AC \cdot \sin(\angle C)$.

Это равенство является известным соотношением в треугольнике $ABC$ и следует напрямую из теоремы синусов. По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.

Умножив обе части пропорции на $\sin(\angle B) \cdot \sin(\angle C)$, мы получим $AC \cdot \sin(\angle C) = AB \cdot \sin(\angle B)$, что и требовалось. Так как мы пришли к верному тождеству, то и исходное равенство $S_{CDE} = S_{BDF}$ является верным.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $CDE$ и $BDF$ являются равновеликими.