Номер 613, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 613, страница 159.

613* Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $P$ — произвольная точка на основании $AC$. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки $P$ до боковых сторон $AB$ и $BC$ не зависит от положения точки $P$.

Обозначим расстояния от точки $P$ до боковых сторон $AB$ и $BC$ как $h_1$ и $h_2$ соответственно. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем перпендикуляры $PM$ к стороне $AB$ (где $M$ лежит на $AB$) и $PN$ к стороне $BC$ (где $N$ лежит на $BC$). Таким образом, по определению, $PM = h_1$ и $PN = h_2$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $P$ с вершиной $B$. Отрезок $BP$ делит треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABP$ и $\triangle CBP$. Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух меньших: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle CBP}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Для треугольника $\triangle ABP$ сторона $AB$ является основанием, а перпендикуляр $PM = h_1$ — высотой, проведенной к этому основанию из вершины $P$. Его площадь равна: $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1$.

Аналогично, для треугольника $\triangle CBP$ сторона $BC$ является основанием, а перпендикуляр $PN = h_2$ — высотой. Его площадь равна: $S_{\triangle CBP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PN = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$.

Подставим выражения для площадей $S_{\triangle ABP}$ и $S_{\triangle CBP}$ в исходное равенство: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны как $b$. Тогда равенство можно переписать: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 = \frac{1}{2} b (h_1 + h_2)$.

Теперь выразим площадь треугольника $ABC$ другим способом. Проведем высоту из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Обозначим ее $AH_{BC}$. Длина этой высоты является постоянной величиной для данного треугольника. Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена как: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH_{BC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AH_{BC}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади треугольника $ABC$: $\frac{1}{2} b (h_1 + h_2) = \frac{1}{2} b \cdot AH_{BC}$.

Поскольку длина боковой стороны $b \neq 0$, мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2} b$: $h_1 + h_2 = AH_{BC}$.

Величина $AH_{BC}$ — это высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины при основании к боковой стороне. Для конкретного треугольника ее длина является постоянной величиной (константой). Следовательно, и сумма расстояний $h_1 + h_2$ от любой точки $P$ на основании до боковых сторон также является постоянной величиной, равной этой высоте. Таким образом, эта сумма не зависит от выбора точки $P$ на основании $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки на основании равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте, опущенной из вершины основания на боковую сторону. Так как для данного треугольника эта высота является постоянной величиной, то и указанная сумма расстояний не зависит от положения точки на основании.