Номер 617, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 617, страница 160.

617* Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Пусть дана трапеция, основания которой равны $a$ и $b$. Пусть $x$ — длина искомого отрезка, который параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликие (имеющие равные площади) трапеции.

Для решения задачи удобно продлить боковые стороны трапеции до их пересечения в некоторой точке $P$. При этом образуются три подобных друг другу треугольника: малый, с основанием $a$; средний, с основанием $x$; и большой, с основанием $b$. Обозначим их площади как $S_a$, $S_x$ и $S_b$ соответственно.

Площадь верхней из двух малых трапеций, образованных отрезком $x$, равна разности площадей среднего и малого треугольников:

$S_1 = S_x - S_a$

Площадь нижней трапеции равна разности площадей большого и среднего треугольников:

$S_2 = S_b - S_x$

По условию задачи, эти две трапеции равновеликие, то есть их площади равны: $S_1 = S_2$.

$S_x - S_a = S_b - S_x$

Из этого равенства следует:

$2S_x = S_a + S_b$

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. В нашем случае площади образованных треугольников относятся как квадраты их оснований. Это значит, что существует такой коэффициент пропорциональности $k$, что:

$S_a = k \cdot a^2$

$S_x = k \cdot x^2$

$S_b = k \cdot b^2$

Подставим эти выражения в соотношение $2S_x = S_a + S_b$:

$2(k \cdot x^2) = (k \cdot a^2) + (k \cdot b^2)$

Разделим обе части уравнения на $k$ (так как $k \neq 0$):

$2x^2 = a^2 + b^2$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Так как длина отрезка $x$ должна быть положительной, извлекаем квадратный корень из правой части:

$x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие трапеции, является средним квадратичным длин оснований исходной трапеции.

Ответ: $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$