Номер 617, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. Дополнительные задачи - номер 617, страница 160.

Условие.

617* Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана трапеция, основания которой равны $a$ и $b$. Пусть $x$ — длина искомого отрезка, который параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликие (имеющие равные площади) трапеции.

Для решения задачи удобно продлить боковые стороны трапеции до их пересечения в некоторой точке $P$. При этом образуются три подобных друг другу треугольника: малый, с основанием $a$; средний, с основанием $x$; и большой, с основанием $b$. Обозначим их площади как $S_a$, $S_x$ и $S_b$ соответственно.

Площадь верхней из двух малых трапеций, образованных отрезком $x$, равна разности площадей среднего и малого треугольников:

$S_1 = S_x - S_a$

Площадь нижней трапеции равна разности площадей большого и среднего треугольников:

$S_2 = S_b - S_x$

По условию задачи, эти две трапеции равновеликие, то есть их площади равны: $S_1 = S_2$.

$S_x - S_a = S_b - S_x$

Из этого равенства следует:

$2S_x = S_a + S_b$

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. В нашем случае площади образованных треугольников относятся как квадраты их оснований. Это значит, что существует такой коэффициент пропорциональности $k$, что:

$S_a = k \cdot a^2$

$S_x = k \cdot x^2$

$S_b = k \cdot b^2$

Подставим эти выражения в соотношение $2S_x = S_a + S_b$:

$2(k \cdot x^2) = (k \cdot a^2) + (k \cdot b^2)$

Разделим обе части уравнения на $k$ (так как $k \neq 0$):

$2x^2 = a^2 + b^2$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Так как длина отрезка $x$ должна быть положительной, извлекаем квадратный корень из правой части:

$x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие трапеции, является средним квадратичным длин оснований исходной трапеции.

Ответ: $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$