Номер 616, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 616, страница 159.

616 В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке О.

а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.

б) Сравните площади треугольников ABО и CDO.

в) Докажите, что выполняется равенство ОА ⋅ ОВ = ОС ⋅ OD.

а) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. У этих треугольников общее основание $AD$. Проведем высоты из вершин $B$ и $C$ на прямую, содержащую основание $AD$. Пусть $BH_1$ и $CH_2$ — высоты. Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Расстояние между параллельными прямыми постоянно, поэтому высоты $BH_1$ и $CH_2$ равны. Обозначим эту высоту как $h$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Для треугольника $ABD$ площадь равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot BH_1 = \frac{1}{2} AD \cdot h$.
Для треугольника $ACD$ площадь равна $S_{ACD} = \frac{1}{2} AD \cdot CH_2 = \frac{1}{2} AD \cdot h$.
Следовательно, площади этих треугольников равны.
Ответ: Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

б) Рассмотрим площади треугольников, полученных в пункте а).
Площадь треугольника $ABD$ состоит из площадей треугольников $ABO$ и $AOD$. То есть, $S_{ABD} = S_{ABO} + S_{AOD}$.
Площадь треугольника $ACD$ состоит из площадей треугольников $CDO$ и $AOD$. То есть, $S_{ACD} = S_{CDO} + S_{AOD}$.
Из пункта а) мы знаем, что $S_{ABD} = S_{ACD}$.
Приравнивая выражения, получаем:
$S_{ABO} + S_{AOD} = S_{CDO} + S_{AOD}$.
Вычтем из обеих частей равенства общую для них площадь треугольника $AOD$:
$S_{ABO} = S_{CDO}$.
Ответ: Площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны: $S_{ABO} = S_{CDO}$.

в) Площадь треугольника можно также найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Пусть $\angle AOB = \alpha$. Тогда вертикальный ему угол $\angle COD = \alpha$.
Запишем площади треугольников $ABO$ и $CDO$ с использованием этой формулы:
$S_{ABO} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\alpha)$.
$S_{CDO} = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\alpha)$.
В пункте б) было доказано, что $S_{ABO} = S_{CDO}$. Следовательно, мы можем приравнять правые части полученных выражений:
$\frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\alpha)$.
Поскольку диагонали трапеции пересекаются, угол $\alpha$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, а значит $\sin(\alpha) \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\frac{1}{2}\sin(\alpha)$, не равное нулю.
Получаем: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $OA \cdot OB = OC \cdot OD$ доказано.