Номер 610, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 610, страница 159.

610 Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Рассмотрим произвольный треугольник, у которого две стороны имеют заданные длины a и b. Пусть угол между этими сторонами равен ?.

Площадь такого треугольника (S) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

В этой формуле значения длин сторон a и b являются постоянными величинами (по условию задачи). Следовательно, площадь треугольника S зависит только от значения $\sin(\gamma)$, где ? — угол между сторонами a и b.

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне функция синуса $\sin(\gamma)$ принимает значения от 0 до 1. $0 < \gamma < 180^\circ \implies 0 < \sin(\gamma) \le 1$

Для того чтобы площадь S была наибольшей, значение $\sin(\gamma)$ должно быть максимальным. Максимальное значение функции синуса равно 1. $\sin(\gamma)_{max} = 1$

Это значение достигается, когда угол $\gamma = 90^\circ$.

Если угол между сторонами a и b равен $90^\circ$, это означает, что эти стороны перпендикулярны. В этом случае треугольник является прямоугольным, а его площадь равна: $S_{max} = \frac{1}{2}ab \sin(90^\circ) = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{1}{2}ab$

Для любого другого угла $\gamma \neq 90^\circ$, значение $\sin(\gamma)$ будет меньше 1, и, соответственно, площадь треугольника будет меньше, чем $\frac{1}{2}ab$.

Таким образом, из всех треугольников с двумя заданными сторонами a и b наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь треугольника со сторонами a, b и углом ? между ними вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$. Так как a и b — постоянные величины, площадь S максимальна, когда максимален $\sin(\gamma)$. Наибольшее значение $\sin(\gamma)$ равно 1, что соответствует углу $\gamma = 90^\circ$. Следовательно, из всех рассматриваемых треугольников наибольшую площадь имеет тот, у которого стороны a и b перпендикулярны.