Номер 12, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 12, страница 158.

12 Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Какая формула площади треугольника называется формулой Герона?

Формулой Герона называется формула для вычисления площади произвольного треугольника, если известны длины всех трёх его сторон. Пусть $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника. Тогда его площадь $S$ можно вычислить по формуле:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

В этой формуле $p$ — это полупериметр треугольника, который находится как половина суммы длин всех сторон:

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

Ответ: Формула Герона для площади треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $p$ имеет вид $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Выведите эту формулу.

Вывод формулы Герона можно произвести, отталкиваясь от формулы площади треугольника через синус угла между двумя сторонами и теоремы косинусов.

1. Возьмём за основу формулу площади треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$$ где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол, заключённый между ними.

2. Применим теорему косинусов к этому же треугольнику, чтобы связать стороны с косинусом угла $\gamma$: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$ Из этой формулы выразим $\cos\gamma$: $$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

3. Теперь найдём $\sin\gamma$ через $\cos\gamma$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$. Так как $\gamma$ является углом в треугольнике, его значение находится в интервале $(0, \pi)$, а значит $\sin\gamma$ всегда положителен. $$\sin\gamma = \sqrt{1 - \cos^2\gamma}$$ Подставим сюда выражение для $\cos\gamma$, полученное на предыдущем шаге: $$\sin\gamma = \sqrt{1 - \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}$$

4. Выполним алгебраические преобразования выражения под корнем. Для начала применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$\sin\gamma = \sqrt{\left(1 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1 + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}$$ Приведём выражения в скобках к общему знаменателю: $$\sin\gamma = \sqrt{\left(\frac{2ab - (a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)\left(\frac{2ab + a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}$$ Раскроем скобки в числителях: $$\sin\gamma = \sqrt{\frac{2ab - a^2 - b^2 + c^2}{2ab} \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2 - c^2}{2ab}}$$ Сгруппируем слагаемые для выделения формул квадрата суммы и разности: $$\sin\gamma = \sqrt{\frac{c^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{(2ab)^2} \cdot \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - c^2}{1}}$$ $$\sin\gamma = \sqrt{\frac{c^2 - (a-b)^2}{(2ab)^2} \cdot \frac{(a+b)^2 - c^2}{1}}$$ Ещё раз применим формулу разности квадратов к числителям: $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(c - (a-b))(c + (a-b))((a+b) - c)((a+b) + c)}$$ $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a+b+c)}$$

5. Теперь введём понятие полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$. Из этого определения следует, что $a+b+c = 2p$. Выразим через $p$ остальные множители под корнем:

$a+b-c = (a+b+c) - 2c = 2p - 2c = 2(p-c)$

$a+c-b = (a+b+c) - 2b = 2p - 2b = 2(p-b)$

$b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$

Подставим эти выражения в формулу для $\sin\gamma$: $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{2(p-a) \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2p}$$ $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Извлечём 16 из-под корня: $$\sin\gamma = \frac{4}{2ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

6. В завершение подставим полученное выражение для $\sin\gamma$ в нашу исходную формулу для площади $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot \left(\frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\right)$$ Сократив $ \frac{1}{2}ab $ и $ \frac{2}{ab} $, получаем искомую формулу Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Вывод формулы Герона осуществляется на основе формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ и теоремы косинусов. Сначала из теоремы косинусов выражается $\cos\gamma$, затем через тригонометрическое тождество $\sin\gamma = \sqrt{1 - \cos^2\gamma}$ находится $\sin\gamma$. Последующие алгебраические преобразования с использованием формул сокращенного умножения и введение полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$ приводят к окончательному виду формулы $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.