Номер 9, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 9, страница 158.

9 Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Формулировка

Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе (стороне, лежащей напротив прямого угла), равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (сторонах, прилежащих к прямому углу).

Алгебраически это выражается следующей формулой:
$a^2 + b^2 = c^2$
где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов ($a^2 + b^2 = c^2$).

Доказательство

Приведём одно из классических доказательств теоремы, основанное на подобии треугольников.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть длины катетов $BC$ и $AC$ равны $a$ и $b$ соответственно, а длина гипотенузы $AB$ равна $c$.

2. Проведём высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Точка $H$ разделит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $HB$. Обозначим их длины $b_c$ и $a_c$ соответственно. Таким образом, $c = a_c + b_c$.

3. Высота $CH$ делит исходный треугольник на два новых прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.

4. Треугольник $\triangle ACH$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$. У них общий острый угол $\angle A$ и оба они имеют по прямому углу ($\angle ACB = \angle AHC = 90^\circ$). Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:
$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \implies \frac{b}{c} = \frac{b_c}{b}$
Отсюда получаем первое равенство: $b^2 = c \cdot b_c$.

5. Аналогично, треугольник $\triangle CBH$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$. У них общий острый угол $\angle B$ и оба они имеют по прямому углу ($\angle ACB = \angle CHB = 90^\circ$). Из подобия следует соотношение их сторон:
$\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC} \implies \frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$
Отсюда получаем второе равенство: $a^2 = c \cdot a_c$.

6. Сложим полученные равенства почленно:
$a^2 + b^2 = c \cdot a_c + c \cdot b_c$

7. Вынесем общий множитель $c$ в правой части:
$a^2 + b^2 = c(a_c + b_c)$

8. Поскольку $a_c + b_c = c$, подставим это выражение в уравнение:
$a^2 + b^2 = c \cdot c$
$a^2 + b^2 = c^2$
Теорема доказана.

Ответ: Доказательство проводится через проведение высоты к гипотенузе, что создает два треугольника, подобных исходному. Из пропорциональности сторон подобных треугольников следуют равенства $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$. Сложение этих равенств приводит к формуле $a^2 + b^2 = c^2$, что и доказывает теорему.