Номер 10, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 10, страница 158.

10 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник является прямоугольным. Прямым является угол, противолежащий первой стороне.

Доказательство:

Пусть нам дан треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. По условию теоремы, для этих сторон выполняется соотношение:

$c^2 = a^2 + b^2$

Нам необходимо доказать, что угол $C$, лежащий напротив стороны $c$, является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$.

Для доказательства построим вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$, у которого угол $\angle C_1$ — прямой ($\angle C_1 = 90^\circ$), а катеты равны соответствующим сторонам (катетам предполагаемого прямоугольного треугольника $ABC$): $A_1C_1 = b$ и $B_1C_1 = a$.

Поскольку треугольник $A_1B_1C_1$ является прямоугольным по построению, для него справедлива прямая теорема Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы $A_1B_1$ равен сумме квадратов его катетов:

$A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2$

Подставим длины катетов $A_1C_1 = b$ и $B_1C_1 = a$:

$A_1B_1^2 = b^2 + a^2$

Теперь сравним полученное выражение с условием, данным для треугольника $ABC$ ($c^2 = a^2 + b^2$). Мы видим, что правые части обоих равенств совпадают:

$c^2 = a^2 + b^2$

$A_1B_1^2 = a^2 + b^2$

Отсюда следует, что $c^2 = A_1B_1^2$. Так как длины сторон — это положительные числа, то мы можем заключить, что $c = A_1B_1$.

Теперь рассмотрим два треугольника: исходный $ABC$ и построенный $A_1B_1C_1$. Сравним их стороны:

• $BC = B_1C_1 = a$ (по построению)
• $AC = A_1C_1 = b$ (по построению)
• $AB = A_1B_1 = c$ (как мы только что доказали)

Таким образом, три стороны треугольника $ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1B_1C_1$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны: $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Угол $C$ в треугольнике $ABC$ лежит против стороны $AB$, а угол $C_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$ лежит против стороны $A_1B_1$. Поскольку $AB=A_1B_1$, то и противолежащие им углы равны: $\angle C = \angle C_1$.

По построению, угол $C_1$ был прямым: $\angle C_1 = 90^\circ$. Следовательно, и угол $C$ тоже равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. Теорема доказана.

Ответ: Если в треугольнике со сторонами $a, b, c$ выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$, то этот треугольник является прямоугольным, и прямой угол в нем — это угол, лежащий напротив стороны $c$. Доказательство основано на построении вспомогательного прямоугольного треугольника и использовании прямой теоремы Пифагора и признака равенства треугольников по трем сторонам.