Номер 4, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 4, страница 158.

4 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника.

Формулировка теоремы

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Доказательство теоремы

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Обозначим его площадь как $S$. Требуется доказать, что $S = a \cdot b$.

Для доказательства воспользуемся методом достраивания. Этот метод основан на аксиомах площадей:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура составлена из нескольких фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.
3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. Из этого следует, что площадь квадрата со стороной $x$ равна $x^2$.

Достроим наш прямоугольник до квадрата со стороной $(a + b)$.

Площадь этого большого квадрата, согласно свойству 3, равна $S_{квадрата} = (a+b)^2$.

С другой стороны, этот большой квадрат можно разбить на четыре части:

• Квадрат со стороной $a$. Его площадь $S_1 = a^2$.
• Квадрат со стороной $b$. Его площадь $S_2 = b^2$.
• Два равных прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $S$.

Согласно свойству 2, площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его частей:

$S_{квадрата} = S_1 + S_2 + S + S$

Подставим выражения для площадей:

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2S$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы:

$a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2S$

Вычтем из обеих частей уравнения $a^2$ и $b^2$:

$2ab = 2S$

Разделим обе части равенства на 2:

$S = a \cdot b$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о вычислении площади прямоугольника утверждает, что площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Формула для вычисления площади: $S = a \cdot b$, где $S$ — площадь, а $a$ и $b$ — длины смежных сторон прямоугольника.