Номер 602, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 602, страница 158.

602 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов. Эта теорема гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около этого треугольника окружности.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $A$, $B$, $C$ — противолежащие им углы, а $R$ — радиус описанной окружности. Соответственно, $2R$ — это диаметр описанной окружности.

По условию, нам дан равнобедренный треугольник. Угол, противолежащий основанию, равен $120^\circ$. Боковая сторона равна 8 см.

Пусть боковая сторона $a = 8$ см. Нам нужно найти угол $A$, который лежит напротив этой стороны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$. Углы при основании можно найти по формуле:

$ \angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $

Итак, угол $A$, противолежащий боковой стороне $a$, равен $30^\circ$.

Теперь мы можем применить теорему синусов, чтобы найти диаметр ($D = 2R$):

$ D = 2R = \frac{a}{\sin A} $

Подставим известные значения: $a = 8$ см и $\angle A = 30^\circ$.

$ D = \frac{8}{\sin 30^\circ} $

Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$ D = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16 $

Таким образом, диаметр окружности, описанной около этого треугольника, равен 16 см.

Ответ: 16 см.