Номер 599, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 599, страница 157.

599 В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника с вписанной в него окружностью. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, гипотенуза равна $c$, а радиус вписанной окружности равен $r$.

Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле $P = a+b+c$.

Для прямоугольного треугольника существует полезная формула, связывающая радиус вписанной окружности с его сторонами: $r = \frac{a+b-c}{2}$. Из этой формулы можно выразить сумму катетов: $a+b = 2r+c$.

Подставив это выражение в формулу периметра, получим универсальную формулу для решения обоих пунктов задачи:

$P = (a+b)+c = (2r+c)+c = 2c+2r$.

а)

По условию дано: гипотенуза $c = 26$ см, радиус вписанной окружности $r = 4$ см.

Используем выведенную формулу для нахождения периметра:

$P = 2c+2r = 2 \cdot 26 + 2 \cdot 4 = 52 + 8 = 60$ см.

Ответ: 60 см.

б)

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = 5 + 12 = 17$ см.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершин острых углов до точек касания на катетах равны отрезкам от тех же вершин до точки касания на гипотенузе. Отрезки от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, катеты треугольника можно выразить через $r$ и длины отрезков на гипотенузе:

$a = 12 + r$

$b = 5 + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(12+r)^2 + (5+r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$144 + 24r + r^2 + 25 + 10r + r^2 = 289$

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $r_1 = 3$ и $r_2 = -20$. Поскольку радиус является геометрической величиной, он не может быть отрицательным. Следовательно, $r = 3$ см.

Теперь, зная гипотенузу $c=17$ см и радиус $r=3$ см, можем найти периметр по той же формуле, что и в пункте а):

$P = 2c+2r = 2 \cdot 17 + 2 \cdot 3 = 34 + 6 = 40$ см.

Ответ: 40 см.