Номер 593, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 593, страница 157.

593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если: а) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D = 60°, AB = ВС = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 92 см.

а)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB=10$ см и $CD=20$ см и боковыми сторонами $BC=DA=13$ см. Так как боковые стороны трапеции равны ($BC=DA$), трапеция является равнобедренной.

Для нахождения площади трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ необходимо найти её высоту $h$. Проведем из вершин $A$ и $B$ высоты $AH$ и $BK$ к основанию $CD$.

Четырехугольник $ABKH$ является прямоугольником, так как $AB \parallel CD$ и $AH \perp CD, BK \perp CD$. Следовательно, $HK = AB = 10$ см. Треугольники $\triangle AHD$ и $\triangle BKC$ являются прямоугольными и равны по гипотенузе и катету ($AD=BC$, $AH=BK$), из чего следует, что $HD = CK$.

Найдем длину отрезков $HD$ и $CK$:

$HD = CK = \frac{CD - HK}{2} = \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHD$. По теореме Пифагора $AD^2 = AH^2 + HD^2$. Отсюда найдем высоту $h = AH$:

$h^2 = AD^2 - HD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Ответ: 180 см².

б)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, в которой $\angle C = \angle D = 60^\circ$ и $AB = BC = 8$ см. Так как углы при основании $CD$ равны, трапеция является равнобедренной, а значит $AD = BC = 8$ см.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $CD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $\triangle BKC$ катет $BK$ является высотой трапеции $h$.

Найдем высоту $h$ и отрезок $CK$ из $\triangle BKC$, используя тригонометрические функции:

$h = BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

$CK = BC \cdot \cos(\angle C) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Поскольку трапеция равнобедренная, отрезок, отсекаемый второй высотой $AH$, равен $CK$, то есть $HD=CK=4$ см. Отрезок $KH$ между высотами равен верхнему основанию $AB$, то есть $KH=AB=8$ см.

Теперь можем найти длину нижнего основания $CD$:

$CD = CK + KH + HD = 4 + 8 + 4 = 16$ см.

Вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{24}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $48\sqrt{3}$ см².

в)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, в которой $\angle C = \angle D = 45^\circ$, $AB = 6$ см и $BC = 9\sqrt{2}$ см. Так как углы при основании $CD$ равны, трапеция является равнобедренной, и $AD = BC = 9\sqrt{2}$ см.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $CD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BKC$ катет $BK$ является высотой трапеции $h$.

Найдем высоту $h$ из $\triangle BKC$:

$h = BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 9\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} = 9$ см.

Поскольку $\triangle BKC$ — прямоугольный с острым углом $45^\circ$, второй острый угол $\angle KBC$ также равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник является равнобедренным, и $CK = BK = 9$ см.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то, проведя вторую высоту $AH$, получим $HD = CK = 9$ см. Отрезок $KH$ равен верхнему основанию: $KH = AB = 6$ см.

Найдем длину нижнего основания $CD$:

$CD = CK + KH + HD = 9 + 6 + 9 = 24$ см.

Вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = \frac{30}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135$ см².

Ответ: 135 см².