Номер 589, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. 62. Формула Герона - номер 589, страница 157.

Условие.

589 По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе:
а) а = 5, b = 12; б) а = 12, b = 16.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для нахождения высоты $h$, проведенной к гипотенузе $c$ прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$, можно использовать формулу, выведенную из метода площадей. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. С другой стороны, она же равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, что равносильно $ab = ch$.

Отсюда можно выразить высоту: $h = \frac{ab}{c}$.

Гипотенузу $c$ мы найдем по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, следовательно, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Подставив выражение для $c$ в формулу для высоты, получаем: $h = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

а) Дано: катеты $a = 5$, $b = 12$.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

2. Теперь найдем высоту $h$, проведенную к гипотенузе:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$.

Можно представить ответ в виде смешанной дроби: $h = 4\frac{8}{13}$.

Ответ: $\frac{60}{13}$ или $4\frac{8}{13}$.

б) Дано: катеты $a = 12$, $b = 16$.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$.

2. Найдем высоту $h$, проведенную к гипотенузе:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$h = \frac{192 \div 4}{20 \div 4} = \frac{48}{5} = 9,6$.

Ответ: $9,6$.