Номер 586, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 586, страница 156.

586 Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны (обозначим длину стороны как $a$), а все углы равны $60^\circ$. Высота ($h$), проведенная к любой из сторон, делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна стороне $a$, один катет равен высоте $h$, а другой катет равен половине стороны $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Из этой теоремы можно вывести формулы, связывающие сторону и высоту равностороннего треугольника:
1. Формула для нахождения высоты $h$ через сторону $a$:
$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
2. Формула для нахождения стороны $a$ через высоту $h$:
$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2h\sqrt{3}}{3}$

а) Найдём высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см.
Дано: $a = 6$ см.
Используем формулу для высоты: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем в формулу значение стороны:
$h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

б) Найдём сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.
Дано: $h = 4$ см.
Используем формулу для стороны: $a = \frac{2h\sqrt{3}}{3}$.
Подставляем в формулу значение высоты:
$a = \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.