Номер 579, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 579, страница 152.

579 Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. В этом случае $AB$ является высотой трапеции, а углы при этой стороне — прямые, то есть $?A = 90°$ и $?B = 90°$.

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180°$. Для стороны $CD$ имеем $?C + ?D = 180°$. По условию задачи, больший угол трапеции равен $135°$. Так как углы $A$ и $B$ прямые, то этот угол может быть либо $?C$, либо $?D$. Если $?D = 135°$, то $?C = 180° - 135° = 45°$. Если же $?C = 135°$, то $?D = 180° - 135° = 45°$. Визуально в такой трапеции угол при меньшем основании ($?C$) — тупой, а угол при большем основании ($?D$) — острый. Таким образом, $?C = 135°$ и $?D = 45°$.

Для нахождения площади опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Фигура $ABCH$ является прямоугольником, так как у нее все углы прямые ($?A=90°, ?B=90°, ?AHC=90°$). Следовательно, $AB = CH$ и $BC = AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Мы знаем, что $?CDH = ?D = 45°$. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, то $?HCD = 90° - ?CDH = 90° - 45° = 45°$. Поскольку углы при основании $CD$ треугольника $CHD$ равны, то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $CH = HD$.

Итак, мы установили следующие соотношения между сторонами трапеции:$AB = CH = HD$.$AD = AH + HD = BC + AB$.Боковую сторону $CD$ найдем по теореме Пифагора для $\triangle CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$, следовательно, $CD = AB\sqrt{2}$.

По условию две меньшие стороны равны $6$ см. Сравним длины всех сторон: $AB$, $BC$, $CD = AB\sqrt{2}$ и $AD = BC + AB$.Очевидно, что $AD$ (сумма двух сторон) — самая длинная сторона.Сравним $AB$ и $CD = AB\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $CD > AB$.Значит, две самые короткие стороны трапеции — это высота $AB$ и меньшее основание $BC$.Таким образом, $AB = 6$ см и $BC = 6$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые элементы для вычисления площади:Высота $h = AB = 6$ см.Меньшее основание $b = BC = 6$ см.Большее основание $a = AD = BC + AB = 6 + 6 = 12$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Подставляем найденные значения:$S = \frac{12+6}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$ см?.

Ответ: 54 см?.