Номер 578, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 578, страница 152.

578 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если:

а) AB = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см;

б) ∠D = 30°, AB = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;

в) ВС ⊥ AB, AB = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

а) Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – это длины оснований, а $h$ – высота.
В данной задаче нам даны длины оснований $AB = 21$ см и $CD = 17$ см, а также высота $BH = 7$ см.
Подставим эти значения в формулу площади трапеции:
$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{21 + 17}{2} \cdot 7$
$S_{ABCD} = \frac{38}{2} \cdot 7 = 19 \cdot 7 = 133$ см².
Ответ: 133 см².

б) В этом случае высота трапеции неизвестна. Чтобы найти её, опустим перпендикуляр (высоту) $AH$ из вершины $A$ на основание $CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHD$. В нём гипотенуза $AD = 8$ см, а один из острых углов $\angle D = 30^\circ$. Высота трапеции $h = AH$ является катетом, противолежащим этому углу.
Известно, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Следовательно, $h = AH = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Теперь, когда мы знаем высоту, можем вычислить площадь трапеции с основаниями $AB = 2$ см и $CD = 10$ см:
$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{2 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ см².
Ответ: 24 см².

в) Условие $BC \perp AB$ означает, что угол между боковой стороной $BC$ и основанием $AB$ равен $90^\circ$.
По определению трапеции, её основания $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).
Если прямая ($BC$) перпендикулярна одной из двух параллельных прямых ($AB$), то она перпендикулярна и второй прямой ($CD$). Значит, $BC \perp CD$.
Таким образом, данная трапеция является прямоугольной, а её боковая сторона $BC$ является высотой.
Высота трапеции $h = BC = 8$ см.
Теперь вычислим площадь трапеции с основаниями $AB = 5$ см и $CD = 13$ см:
$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{5 + 13}{2} \cdot 8 = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$ см².
Ответ: 72 см².