Номер 580, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 580, страница 152.

580 Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ является большим основанием. По условию, трапеция равнобедренная, следовательно, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), и углы при основаниях также равны.

Тупой угол трапеции равен $135^\circ$. Пусть это будет угол $\angle B = 135^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, острый угол при большем основании $\angle A$ равен:$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Проведем высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В этом треугольнике $\angle BAH = \angle A = 45^\circ$ и $\angle BHA = 90^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку два угла в треугольнике $\triangle ABH$ равны, он является равнобедренным, а это значит, что его катеты равны: $AH = BH$.

Согласно условию, высота $BH$ делит большее основание $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$, длины которых равны $1,4$ см и $3,4$ см.

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка. Меньший из них равен полуразности оснований ($AH = \frac{AD - BC}{2}$), а больший — их полусумме ($HD = \frac{AD + BC}{2}$). Так как $AD > BC > 0$, то $HD > AH$. Следовательно, $AH = 1,4$ см, а $HD = 3,4$ см.

Поскольку $AH = BH$, мы можем найти высоту трапеции $h$:$h = BH = AH = 1,4$ см.

Теперь найдем длины оснований. Большее основание $AD$ равно сумме длин отрезков $AH$ и $HD$:$AD = AH + HD = 1,4 + 3,4 = 4,8$ см.Меньшее основание $BC$ найдем, используя формулу для отрезка $HD$:$HD = \frac{AD + BC}{2}$$3,4 = \frac{4,8 + BC}{2}$$6,8 = 4,8 + BC$$BC = 6,8 - 4,8 = 2$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$Можно заметить, что $\frac{AD + BC}{2}$ — это длина средней линии трапеции, которая равна отрезку $HD$.Таким образом, площадь можно вычислить как произведение $HD$ на высоту $BH$:$S = HD \cdot BH = 3,4 \cdot 1,4 = 4,76$ см².

Ответ: 4,76 см².