Номер 584, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 584, страница 156.

584 В прямоугольнике ABCD найдите:

а) AD, если AB = 5, АС = 13;

б) ВС, если CD = 1,5, AC = 2,5;

в) CD, если BD = 17, BC = 15.

а) В прямоугольнике $ABCD$ все углы прямые, а противолежащие стороны равны. Диагональ $AC$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, один из которых — $ADC$ с прямым углом $\angle D$.
В этом треугольнике катетами являются стороны $AD$ и $CD$, а гипотенузой — диагональ $AC$.
По свойству прямоугольника, $CD = AB = 5$.
Применим теорему Пифагора: $AD^2 + CD^2 = AC^2$.
Выразим из формулы искомую сторону $AD$:
$AD^2 = AC^2 - CD^2$
Подставим известные значения: $AC = 13$, $CD = 5$.
$AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AD = \sqrt{144} = 12$
Ответ: 12.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle B$. Катетами являются стороны $AB$ и $BC$, а гипотенузой — диагональ $AC$.
По свойству прямоугольника, $AB = CD = 1,5$.
Применим теорему Пифагора: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
Выразим из формулы искомую сторону $BC$:
$BC^2 = AC^2 - AB^2$
Подставим известные значения: $AC = 2,5$, $AB = 1,5$.
$BC^2 = (2,5)^2 - (1,5)^2 = 6,25 - 2,25 = 4$
$BC = \sqrt{4} = 2$
Ответ: 2.

в) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ с прямым углом $\angle C$. Катетами являются стороны $BC$ и $CD$, а гипотенузой — диагональ $BD$.
Применим теорему Пифагора: $BC^2 + CD^2 = BD^2$.
Выразим из формулы искомую сторону $CD$:
$CD^2 = BD^2 - BC^2$
Подставим известные значения: $BD = 17$, $BC = 15$.
$CD^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$CD = \sqrt{64} = 8$
Ответ: 8.