Страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

581 Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам a и b:

а) а = 6, b = 8;

б) а = 5, b = 6;

в) a = 37, b = 47;

г) a = 8, b = 83

Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника (обозначим её как c) по данным катетам a и b используется теорема Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$. Отсюда формула для вычисления гипотенузы: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

а) Дано: катеты $a = 6$, $b = 8$.
Найдём гипотенузу c по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10.

б) Дано: катеты $a = 5$, $b = 6$.
Найдём гипотенузу c по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.
Ответ: $\sqrt{61}$.

в) Дано: катеты $a = \frac{3}{7}$, $b = \frac{4}{7}$.
Найдём гипотенузу c по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{(\frac{3}{7})^2 + (\frac{4}{7})^2} = \sqrt{\frac{9}{49} + \frac{16}{49}} = \sqrt{\frac{9+16}{49}} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{7}$.

г) Дано: катеты $a = 8$, $b = 8\sqrt{3}$.
Найдём гипотенузу c по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$.
Ответ: 16.

582 В прямоугольном треугольнике a и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:

а) а = 12, с = 13;

б) а = 7, с = 9;

в) а = 12, с = 2b;

г) a = 23, с = 2b;

д) а = 3b, c = 210.

Для решения задачи используется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

Дано: катет $a = 12$, гипотенуза $c = 13$.
Чтобы найти катет $b$, выразим его из теоремы Пифагора: $b^2 = c^2 - a^2$.
Подставим известные значения:
$b^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
$b = \sqrt{25} = 5$ (так как длина стороны является положительной величиной).

Ответ: $5$.

Дано: катет $a = 7$, гипотенуза $c = 9$.
Используем ту же формулу: $b^2 = c^2 - a^2$.
$b^2 = 9^2 - 7^2 = 81 - 49 = 32$
$b = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.

Дано: катет $a = 12$, гипотенуза $c = 2b$.
Подставим эти выражения в теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и решим уравнение относительно $b$:
$12^2 + b^2 = (2b)^2$
$144 + b^2 = 4b^2$
$4b^2 - b^2 = 144$
$3b^2 = 144$
$b^2 = \frac{144}{3} = 48$
$b = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.

Дано: катет $a = 2\sqrt{3}$, гипотенуза $c = 2b$.
Подставляем в теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(2\sqrt{3})^2 + b^2 = (2b)^2$
$4 \cdot 3 + b^2 = 4b^2$
$12 + b^2 = 4b^2$
$3b^2 = 12$
$b^2 = \frac{12}{3} = 4$
$b = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.

Дано: катет $a = 3b$, гипотенуза $c = 2\sqrt{10}$.
Подставляем в теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(3b)^2 + b^2 = (2\sqrt{10})^2$
$9b^2 + b^2 = 4 \cdot 10$
$10b^2 = 40$
$b^2 = \frac{40}{10} = 4$
$b = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.

583 Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

Для решения этой задачи воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник, где:

• $c$ — длина гипотенузы.
• $\alpha = 60^\circ$ — один из острых углов.
• $a$ — длина катета, лежащего против угла $\alpha$.

Согласно определению синуса:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Подставим в формулу известные нам значения:

$\sin(60^\circ) = \frac{a}{c}$

Чтобы найти катет $a$, нужно выразить его из этого равенства:

$a = c \cdot \sin(60^\circ)$

Известно, что значение синуса 60 градусов является табличной величиной:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение в формулу для катета $a$:

$a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, длина катета, лежащего против угла 60°, равна $\frac{c\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{c\sqrt{3}}{2}$

584 В прямоугольнике ABCD найдите:

а) AD, если AB = 5, АС = 13;

б) ВС, если CD = 1,5, AC = 2,5;

в) CD, если BD = 17, BC = 15.

а) В прямоугольнике $ABCD$ все углы прямые, а противолежащие стороны равны. Диагональ $AC$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, один из которых — $ADC$ с прямым углом $\angle D$.
В этом треугольнике катетами являются стороны $AD$ и $CD$, а гипотенузой — диагональ $AC$.
По свойству прямоугольника, $CD = AB = 5$.
Применим теорему Пифагора: $AD^2 + CD^2 = AC^2$.
Выразим из формулы искомую сторону $AD$:
$AD^2 = AC^2 - CD^2$
Подставим известные значения: $AC = 13$, $CD = 5$.
$AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$AD = \sqrt{144} = 12$
Ответ: 12.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle B$. Катетами являются стороны $AB$ и $BC$, а гипотенузой — диагональ $AC$.
По свойству прямоугольника, $AB = CD = 1,5$.
Применим теорему Пифагора: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
Выразим из формулы искомую сторону $BC$:
$BC^2 = AC^2 - AB^2$
Подставим известные значения: $AC = 2,5$, $AB = 1,5$.
$BC^2 = (2,5)^2 - (1,5)^2 = 6,25 - 2,25 = 4$
$BC = \sqrt{4} = 2$
Ответ: 2.

в) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ с прямым углом $\angle C$. Катетами являются стороны $BC$ и $CD$, а гипотенузой — диагональ $BD$.
Применим теорему Пифагора: $BC^2 + CD^2 = BD^2$.
Выразим из формулы искомую сторону $CD$:
$CD^2 = BD^2 - BC^2$
Подставим известные значения: $BD = 17$, $BC = 15$.
$CD^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$CD = \sqrt{64} = 8$
Ответ: 8.

585 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Решение

Пусть дан равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны 17 см, а основание — 16 см. Обозначим его как $\triangle ABC$, где $AB = BC = 17$ см, а $AC = 16$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой.

Так как $BH$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам. Следовательно, мы можем найти длину отрезка $AH$:

$AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Поскольку $BH$ является высотой, угол $\angle BHA$ — прямой, и $\triangle ABH$ — прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза, равная 17 см.
• $AH$ — катет, равный 8 см.
• $BH$ — катет, который является искомой высотой.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$AH^2 + BH^2 = AB^2$

Выразим из этой формулы $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим известные значения и вычислим:

$BH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

Теперь найдем длину высоты $BH$, взяв квадратный корень из полученного значения:

$BH = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

586 Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны (обозначим длину стороны как $a$), а все углы равны $60^\circ$. Высота ($h$), проведенная к любой из сторон, делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна стороне $a$, один катет равен высоте $h$, а другой катет равен половине стороны $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Из этой теоремы можно вывести формулы, связывающие сторону и высоту равностороннего треугольника:
1. Формула для нахождения высоты $h$ через сторону $a$:
$h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
2. Формула для нахождения стороны $a$ через высоту $h$:
$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2h\sqrt{3}}{3}$

а) Найдём высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см.
Дано: $a = 6$ см.
Используем формулу для высоты: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем в формулу значение стороны:
$h = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.
Ответ: $3\sqrt{3}$ см.

б) Найдём сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.
Дано: $h = 4$ см.
Используем формулу для стороны: $a = \frac{2h\sqrt{3}}{3}$.
Подставляем в формулу значение высоты:
$a = \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.