Страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

561 Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними $\alpha = 30°$. Высоты, проведенные из вершины тупого угла к сторонам $a$ и $b$ (или их продолжениям), обозначим $h_a$ и $h_b$. Согласно условию, эти высоты равны 2 см и 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $a$ (выступающей в качестве гипотенузы), высотой, проведенной к стороне $b$ ($h_b$), и острым углом $\alpha$. В этом треугольнике катет $h_b$ лежит напротив угла $\alpha$, поэтому справедливо соотношение $h_b = a \cdot \sin(\alpha)$. Аналогично для другой высоты и стороны: $h_a = b \cdot \sin(\alpha)$.

Поскольку $\alpha = 30°$, то $\sin(30°) = \frac{1}{2}$. Подставив это значение в наши уравнения, получим:
$h_b = a \cdot \frac{1}{2} \implies a = 2h_b$
$h_a = b \cdot \frac{1}{2} \implies b = 2h_a$

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$, то есть $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Из этого равенства следует, что большей стороне соответствует меньшая высота. Пусть $a$ будет большей стороной, а $b$ — меньшей. Тогда $h_a$ должна быть меньшей высотой (2 см), а $h_b$ — большей (3 см).
Присвоим значения: $h_a = 2$ см и $h_b = 3$ см.
Тогда стороны параллелограмма равны:
$a = 2 \cdot h_b = 2 \cdot 3 = 6$ см.
$b = 2 \cdot h_a = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма. Используем сторону $a$ и соответствующую ей высоту $h_a$:
$S = a \cdot h_a = 6 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Для проверки можно вычислить площадь, используя сторону $b$ и высоту $h_b$:
$S = b \cdot h_b = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.

562 Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если бо́льшая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов — 45°.

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая. По условию, $a = 15,2$ см. Один из углов параллелограмма равен $45°$. Пусть это будет острый угол $?$ между сторонами $a$ и $b$. Тогда тупой угол равен $180° - 45° = 135°$.

В параллелограмме есть две диагонали: меньшая $d_1$, которая лежит напротив острого угла, и большая $d_2$, которая лежит напротив тупого угла. Рассмотрим треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и большей диагональю $d_2$. Угол между сторонами $a$ и $b$ в этом треугольнике равен $135°$. В любом треугольнике сторона, лежащая напротив самого большого угла, является самой длинной. Так как угол $135°$ — тупой, диагональ $d_2$ будет длиннее и стороны $a$, и стороны $b$. Следовательно, большая диагональ не может быть равна одной из сторон параллелограмма.

Значит, условию задачи удовлетворяет только меньшая диагональ $d_1$. Она равна одной из сторон. Рассмотрим треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_1$. Угол между сторонами $a$ и $b$ в этом треугольнике равен $45°$. Применим теорему косинусов:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°)$

Возможны два случая:

1. Меньшая диагональ равна большей стороне: $d_1 = a$. Подставим в формулу: $a^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°)$. $0 = b^2 - 2ab \cos(45°)$. Так как $b \neq 0$, можем разделить на $b$: $b = 2a \cos(45°)$. $b = 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$. Это означает, что $b > a$, что противоречит условию, что $a$ — большая сторона. Этот случай невозможен.
2. Меньшая диагональ равна меньшей стороне: $d_1 = b$. Подставим в формулу: $b^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°)$. $0 = a^2 - 2ab \cos(45°)$. Так как $a \neq 0$, можем разделить на $a$: $a = 2b \cos(45°)$. $a = 2b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = b\sqrt{2}$. Это означает, что $a > b$, что соответствует условию задачи. Этот случай является верным.

Итак, мы установили, что стороны параллелограмма связаны соотношением $a = b\sqrt{2}$.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле:$S = a \cdot b \cdot \sin(?)$Мы знаем, что $a = 15,2$ см, $? = 45°$ и $a = b\sqrt{2}$. Отсюда $b = \frac{a}{\sqrt{2}}$.Подставим все значения в формулу площади:$S = a \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \cdot \sin(45°)$Так как $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$S = a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2}{2}$Теперь вычислим площадь, подставив значение $a = 15,2$ см:$S = \frac{(15,2)^2}{2} = \frac{231,04}{2} = 115,52$ см$^2$.

Ответ: $115,52$ см$^2$.

563 Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.

Для решения этой задачи сравним формулы для вычисления площадей квадрата и ромба, исходя из условия равенства их периметров.

1. Определение сторон.
Пусть сторона квадрата равна $a_{кв}$, а сторона ромба — $a_{ромб}$. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4 \cdot a_{кв}$. Периметр ромба вычисляется по формуле $P_{ромб} = 4 \cdot a_{ромб}$. По условию задачи, их периметры равны: $P_{кв} = P_{ромб}$ $4 \cdot a_{кв} = 4 \cdot a_{ромб}$ Отсюда следует, что стороны фигур равны: $a_{кв} = a_{ромб}$. Обозначим длину стороны обеих фигур как $a$.

2. Формулы площадей.
Площадь квадрата со стороной $a$ равна: $S_{кв} = a^2$ Площадь ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ между сторонами равна: $S_{ромб} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

3. Сравнение площадей.
Квадрат является частным случаем ромба, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. В этом случае $\sin(90^\circ) = 1$, и площадь равна $a^2$. В условии задачи указано, что ромб не является квадратом. Это означает, что его углы не равны $90^\circ$. Для любого угла $\alpha$ в ромбе (который не является квадратом) справедливо, что $0 < \alpha < 180^\circ$ и $\alpha \neq 90^\circ$. Для таких углов значение синуса всегда меньше единицы: $0 < \sin(\alpha) < 1$ Теперь сравним выражения для площадей: $S_{кв} = a^2$ $S_{ромб} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$ Так как $a^2$ — положительная величина, а $\sin(\alpha) < 1$, то произведение $a^2 \cdot \sin(\alpha)$ будет строго меньше, чем $a^2$. $S_{ромб} < S_{кв}$

Таким образом, при одинаковом периметре площадь квадрата всегда больше площади любого ромба, который не является квадратом.

Ответ: Площадь квадрата больше площади ромба.

564 Пусть а — основание, h — высота, а S — площадь треугольника. Найдите:

а) S, если а = 7 см, h = 11 см;

б) S, если a = 23 см, h = 5 см;

в) h, если S = 37,8 см², а = 14 см;

г) а, если S = 12 см2, h = 32 см.

Для решения всех пунктов задачи используется формула площади треугольника, которая связывает основание $a$, высоту $h$ и площадь $S$: $S = \frac{1}{2}ah$. Из этой основной формулы можно выразить высоту, если известны площадь и основание: $h = \frac{2S}{a}$. А также можно выразить основание, если известны площадь и высота: $a = \frac{2S}{h}$.

а) Дано основание $a = 7$ см и высота $h = 11$ см. Требуется найти площадь $S$.
Подставляем известные значения в формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 11 = \frac{77}{2} = 38,5$ см$^2$.
Ответ: $38,5$ см$^2$.

б) Дано основание $a = 2\sqrt{3}$ см и высота $h = 5$ см. Требуется найти площадь $S$.
Подставляем значения в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot 5 = 5\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $5\sqrt{3}$ см$^2$.

в) Дана площадь $S = 37,8$ см$^2$ и основание $a = 14$ см. Требуется найти высоту $h$.
Используем формулу для нахождения высоты:
$h = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 37,8}{14} = \frac{75,6}{14} = 5,4$ см.
Ответ: $5,4$ см.

г) Дана площадь $S = 12$ см$^2$ и высота $h = 3\sqrt{2}$ см. Требуется найти основание $a$.
Используем формулу для нахождения основания:
$a = \frac{2S}{h} = \frac{2 \cdot 12}{3\sqrt{2}} = \frac{24}{3\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$ см.
Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

565 Стороны AB и ВС треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ – сторона треугольника, а $h_a$ – высота, проведённая к этой стороне.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB = 16$ см, а сторона $BC = 22$ см. Высота, проведённая к стороне $AB$, пусть будет $h_{AB} = 11$ см. Нам необходимо найти высоту, проведённую к стороне $BC$, которую обозначим $h_{BC}$.

Площадь треугольника $ABC$ не зависит от того, какую сторону мы выберем в качестве основания для её вычисления. Поэтому мы можем приравнять выражения для площади, вычисленные через разные стороны и соответствующие им высоты.

С одной стороны, площадь треугольника равна:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB}$

С другой стороны, она же равна:$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC}$

Приравняем правые части этих двух равенств:$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от множителя $\frac{1}{2}$:$AB \cdot h_{AB} = BC \cdot h_{BC}$

Теперь подставим известные значения в полученное уравнение:$16 \cdot 11 = 22 \cdot h_{BC}$

$176 = 22 \cdot h_{BC}$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h_{BC}$:$h_{BC} = \frac{176}{22}$

$h_{BC} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

566 Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.

Пусть $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведённые к этим сторонам соответственно.

По условию задачи даны стороны:
$a = 7,5$ см (большая сторона)
$b = 3,2$ см (меньшая сторона)

Также дана высота, проведённая к большей стороне:
$h_a = 2,4$ см

Нам необходимо найти высоту, проведённую к меньшей стороне, то есть $h_b$.

Площадь треугольника ($S$) можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Площадь одного и того же треугольника постоянна, поэтому мы можем записать формулу площади, используя разные стороны и соответствующие им высоты:

С одной стороны, $S = \frac{1}{2} a h_a$.
С другой стороны, $S = \frac{1}{2} b h_b$.

Приравняем эти два выражения для площади: $\frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$

Умножив обе части уравнения на 2, получим: $a h_a = b h_b$

Из этого равенства выразим искомую высоту $h_b$: $h_b = \frac{a h_a}{b}$

Теперь подставим известные значения в формулу: $h_b = \frac{7,5 \cdot 2,4}{3,2}$

Вычислим произведение в числителе: $7,5 \cdot 2,4 = 18$

Теперь выполним деление: $h_b = \frac{18}{3,2} = \frac{180}{32} = \frac{45}{8} = 5,625$ см.

Таким образом, высота, проведённая к меньшей из данных сторон, равна 5,625 см.

Ответ: 5,625 см.

567 Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. Формула для вычисления площади $S$ выглядит следующим образом: $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ – длины катетов.

а) Найдём площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 4 см и 11 см.

Подставим значения длин катетов в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 2 \cdot 11 = 22$ см².

Ответ: 22 см².

б) Найдём площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 1,2 дм и 3 дм.

Подставим значения длин катетов в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 1,2 \cdot 3 = 0,6 \cdot 3 = 1,8$ дм².

Ответ: 1,8 дм².

568 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 712

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b.
Площадь прямоугольного треугольника (S) вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$

По условию задачи, площадь треугольника равна 168 см?, а отношение длин его катетов равно $\frac{7}{12}$. Это можно записать в виде системы уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{2}ab = 168 \\ \frac{a}{b} = \frac{7}{12} \end{cases}$

Для решения этой системы введем коэффициент пропорциональности x. Тогда, исходя из отношения, длины катетов можно выразить как $a = 7x$ и $b = 12x$.

Подставим эти выражения в формулу площади:
$\frac{1}{2} \cdot (7x) \cdot (12x) = 168$

Упростим полученное уравнение:
$\frac{1}{2} \cdot 84x^2 = 168$
$42x^2 = 168$

Теперь найдем $x^2$:
$x^2 = \frac{168}{42}$
$x^2 = 4$

Поскольку длина стороны должна быть положительным числом, извлекаем арифметический квадратный корень:
$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности x, мы можем найти длины катетов:
$a = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.
$b = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Ответ: катеты треугольника равны 14 см и 24 см.

569 Пусть a, b, c — стороны треугольника, P — периметр треугольника, r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника. Найдите:

а) r, если P = 56, S = 84;

б) S, если P = 144, r = 3,5;

в) a, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.

Для решения всех пунктов задачи используется формула, связывающая площадь треугольника $S$, его периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$:

$S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Поскольку полупериметр $p = \frac{P}{2}$, то формулу можно представить в виде: $S = \frac{P \cdot r}{2}$.

По условию задачи, периметр $P = 56$, а площадь $S = 84$. Необходимо найти радиус вписанной окружности $r$.

Выразим радиус $r$ из основной формулы $S = \frac{P \cdot r}{2}$:

$2S = P \cdot r$

$r = \frac{2S}{P}$

Теперь подставим заданные значения в полученную формулу:

$r = \frac{2 \cdot 84}{56} = \frac{168}{56}$

Выполнив деление, получаем:

$r = 3$

Ответ: $r = 3$.

По условию, периметр $P = 144$, а радиус вписанной окружности $r = 3,5$. Необходимо найти площадь треугольника $S$.

Воспользуемся формулой $S = \frac{P \cdot r}{2}$ и подставим в нее известные значения:

$S = \frac{144 \cdot 3,5}{2}$

Произведем вычисления:

$S = 72 \cdot 3,5 = 252$

Ответ: $S = 252$.

По условию, известны две стороны треугольника $b = 15$ и $c = 20$, радиус вписанной окружности $r = 2$ и площадь $S = 42$. Необходимо найти третью сторону $a$.

Сначала найдем периметр треугольника $P$, используя данные о площади и радиусе вписанной окружности. Выразим $P$ из формулы $S = \frac{P \cdot r}{2}$:

$P = \frac{2S}{r}$

Подставим значения $S = 42$ и $r = 2$:

$P = \frac{2 \cdot 42}{2} = 42$

Периметр треугольника является суммой длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Зная периметр $P$ и длины сторон $b$ и $c$, мы можем найти сторону $a$:

$a = P - b - c$

Подставим известные значения:

$a = 42 - 15 - 20 = 42 - 35 = 7$

Ответ: $a = 7$.

570 В треугольник АВС вписана окружность радиуса 3 см, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках P, Q и R. Найдите площадь треугольника АВС, если AP = 5 см, BQ = 5 см, CR = 6 см.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки, и формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности.

1. Нахождение длин сторон треугольника.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, отрезки касательных от этой вершины до точек касания равны.

• Отрезки касательных из вершины $A$: $AR = AP$. Так как $AP = 5$ см, то $AR = 5$ см.
• Отрезки касательных из вершины $B$: $BP = BQ$. Так как $BQ = 5$ см, то $BP = 5$ см.
• Отрезки касательных из вершины $C$: $CQ = CR$. Так как $CR = 6$ см, то $CQ = 6$ см.

Теперь можем найти длины сторон треугольника $ABC$:

• $AB = AP + PB = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10$ см.
• $BC = BQ + QC = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 11$ см.
• $CA = CR + RA = 6 \text{ см} + 5 \text{ см} = 11$ см.

2. Вычисление полупериметра.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = AB + BC + CA = 10 + 11 + 11 = 32$ см.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

3. Вычисление площади треугольника.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле, использующей радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$:
$S = p \cdot r$

Подставим известные значения: $p = 16$ см и $r = 3$ см.
$S = 16 \cdot 3 = 48$ см².

Ответ: 48 см².

571 Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне AB. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Рассмотрим любой треугольник, основанием которого является сторона $AB$, а третья вершина, назовем ее $D$, лежит на прямой $m$. Исходный треугольник $ABC$ является частным случаем такого треугольника, так как его вершина $C$ по условию лежит на прямой $m$.

У всех таких треугольников основание $AB$ общее. Следовательно, длина основания для всех них одинакова.

Высотой каждого такого треугольника, проведенной к основанию $AB$, является длина перпендикуляра, опущенного из вершины $D$ (лежащей на прямой $m$) на прямую, содержащую основание $AB$.

По условию задачи, прямая $m$ параллельна прямой, содержащей сторону $AB$ ($m \parallel AB$). Расстояние между двумя параллельными прямыми есть величина постоянная. Это означает, что длины всех перпендикуляров, проведенных из любой точки прямой $m$ к прямой $AB$, равны.

Следовательно, высоты всех рассматриваемых треугольников, проведенные к основанию $AB$, равны между собой. Обозначим эту постоянную высоту как $h$.

Таким образом, площадь любого треугольника с основанием $AB$ и вершиной на прямой $m$ равна $S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$. Так как и длина основания $|AB|$, и высота $h$ — постоянные величины, то и площадь всех таких треугольников будет одинаковой, что и требовалось доказать.

Ответ: У всех треугольников с вершинами на прямой $m$ и основанием $AB$ общее основание ($AB$) и равные высоты, так как высота каждого такого треугольника равна расстоянию между параллельными прямыми $m$ и $AB$. Поскольку площади треугольников вычисляются по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, а основание и высота у них одинаковы, то их площади равны.

572 Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Пусть дан произвольный треугольник, который мы обозначим как $\triangle ABC$. Проведем в нем медиану из вершины $B$ к стороне $AC$. Обозначим точку пересечения медианы со стороной $AC$ как $M$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что длины отрезков $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$

Медиана $BM$ разделяет треугольник $\triangle ABC$ на два новых треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Нам необходимо сравнить их площади, которые мы обозначим как $S_{\triangle ABM}$ и $S_{\triangle CBM}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ где $a$ — длина основания треугольника, а $h_a$ — длина высоты, проведенной к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ (или на ее продолжение). Эта высота $BH$ будет общей для обоих треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, так как их основания $AM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$.

Теперь вычислим площадь каждого из двух треугольников.

Для треугольника $\triangle ABM$ основанием является сторона $AM$, а высотой — $BH$. Его площадь равна: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

Для треугольника $\triangle CBM$ основанием является сторона $CM$, а высотой — та же самая высота $BH$. Его площадь равна: $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$

Теперь мы можем сравнить площади этих двух треугольников. Мы знаем, что их высоты $BH$ равны (так как это общая высота), и их основания $AM$ и $CM$ также равны (так как $BM$ — медиана).

Поскольку $AM = MC$ и $BH = BH$, то правые части формул для площадей равны: $\frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$

Следовательно, равны и сами площади: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$

Это доказывает, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями).

Ответ: Площади двух треугольников, на которые медиана разделяет данный треугольник, равны.

573 Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством площадей треугольников: если несколько треугольников имеют одинаковую высоту, то их площади относятся как длины их оснований.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести две прямые через вершину $A$, которые разделят его на три треугольника равной площади. Эти прямые пересекут противолежащую сторону $BC$ в некоторых точках. Обозначим эти точки как $D$ и $E$, так что они лежат между $B$ и $C$. В результате исходный треугольник $ABC$ будет разделен на три треугольника: $ABD$, $ADE$ и $AEC$.

Проведем высоту $h$ из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Эта высота $h$ является общей для всех трех полученных треугольников: $ABD$, $ADE$ и $AEC$.

Площади этих треугольников вычисляются по формулам:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h$
$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$
$S_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$

По условию задачи, площади этих трех треугольников должны быть равны: $S_{ABD} = S_{ADE} = S_{AEC}$.

Подставив выражения для площадей, получим равенство: $\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$.

Так как высота $h$ у всех треугольников одинакова и не равна нулю, мы можем сократить на $\frac{1}{2}h$. Это приводит нас к следующему выводу: $BD = DE = EC$.

Таким образом, чтобы площади треугольников были равны, их основания должны быть равны. Это означает, что точки $D$ и $E$ должны делить сторону $BC$ на три равных отрезка. Задача сводится к построению таких точек.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$.

2. Разделите сторону $BC$ на три равных отрезка. Это классическая задача на построение, которая выполняется с помощью циркуля и линейки.
- Из точки $B$ проведите произвольный луч, не лежащий на прямой $BC$.
- С помощью циркуля отложите на этом луче, начиная от точки $B$, три отрезка равной длины: $BP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
- Соедините последнюю точку $P_3$ с точкой $C$.
- Через точки $P_1$ и $P_2$ проведите прямые, параллельные отрезку $P_3C$.
- Точки пересечения этих прямых со стороной $BC$ и будут искомыми точками $D$ и $E$. Согласно теореме Фалеса, они разделят отрезок $BC$ на три равные части: $BD = DE = EC$.

3. Соедините вершину $A$ с построенными точками $D$ и $E$ при помощи отрезков $AD$ и $AE$.

Полученные прямые $AD$ и $AE$ делят треугольник $ABC$ на три треугольника $ABD$, $ADE$ и $AEC$, которые имеют равные площади, так как у них равные основания и общая высота.

Ответ: Чтобы разделить треугольник $ABC$ на три треугольника равной площади, необходимо провести две прямые из вершины $A$ к точкам на противоположной стороне $BC$, которые делят эту сторону на три равных отрезка.