Номер 568, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 568, страница 151.

568 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см². Найдите его катеты, если отношение их длин равно 712

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b.
Площадь прямоугольного треугольника (S) вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$

По условию задачи, площадь треугольника равна 168 см?, а отношение длин его катетов равно $\frac{7}{12}$. Это можно записать в виде системы уравнений:
$\begin{cases} \frac{1}{2}ab = 168 \\ \frac{a}{b} = \frac{7}{12} \end{cases}$

Для решения этой системы введем коэффициент пропорциональности x. Тогда, исходя из отношения, длины катетов можно выразить как $a = 7x$ и $b = 12x$.

Подставим эти выражения в формулу площади:
$\frac{1}{2} \cdot (7x) \cdot (12x) = 168$

Упростим полученное уравнение:
$\frac{1}{2} \cdot 84x^2 = 168$
$42x^2 = 168$

Теперь найдем $x^2$:
$x^2 = \frac{168}{42}$
$x^2 = 4$

Поскольку длина стороны должна быть положительным числом, извлекаем арифметический квадратный корень:
$x = \sqrt{4} = 2$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности x, мы можем найти длины катетов:
$a = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.
$b = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Ответ: катеты треугольника равны 14 см и 24 см.