Номер 561, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 561, страница 151.

561 Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними $\alpha = 30°$. Высоты, проведенные из вершины тупого угла к сторонам $a$ и $b$ (или их продолжениям), обозначим $h_a$ и $h_b$. Согласно условию, эти высоты равны 2 см и 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $a$ (выступающей в качестве гипотенузы), высотой, проведенной к стороне $b$ ($h_b$), и острым углом $\alpha$. В этом треугольнике катет $h_b$ лежит напротив угла $\alpha$, поэтому справедливо соотношение $h_b = a \cdot \sin(\alpha)$. Аналогично для другой высоты и стороны: $h_a = b \cdot \sin(\alpha)$.

Поскольку $\alpha = 30°$, то $\sin(30°) = \frac{1}{2}$. Подставив это значение в наши уравнения, получим:
$h_b = a \cdot \frac{1}{2} \implies a = 2h_b$
$h_a = b \cdot \frac{1}{2} \implies b = 2h_a$

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$, то есть $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Из этого равенства следует, что большей стороне соответствует меньшая высота. Пусть $a$ будет большей стороной, а $b$ — меньшей. Тогда $h_a$ должна быть меньшей высотой (2 см), а $h_b$ — большей (3 см).
Присвоим значения: $h_a = 2$ см и $h_b = 3$ см.
Тогда стороны параллелограмма равны:
$a = 2 \cdot h_b = 2 \cdot 3 = 6$ см.
$b = 2 \cdot h_a = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма. Используем сторону $a$ и соответствующую ей высоту $h_a$:
$S = a \cdot h_a = 6 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Для проверки можно вычислить площадь, используя сторону $b$ и высоту $h_b$:
$S = b \cdot h_b = 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $12 \text{ см}^2$.