Номер 563, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 563, страница 151.

563 Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.

Для решения этой задачи сравним формулы для вычисления площадей квадрата и ромба, исходя из условия равенства их периметров.

1. Определение сторон.
Пусть сторона квадрата равна $a_{кв}$, а сторона ромба — $a_{ромб}$. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4 \cdot a_{кв}$. Периметр ромба вычисляется по формуле $P_{ромб} = 4 \cdot a_{ромб}$. По условию задачи, их периметры равны: $P_{кв} = P_{ромб}$ $4 \cdot a_{кв} = 4 \cdot a_{ромб}$ Отсюда следует, что стороны фигур равны: $a_{кв} = a_{ромб}$. Обозначим длину стороны обеих фигур как $a$.

2. Формулы площадей.
Площадь квадрата со стороной $a$ равна: $S_{кв} = a^2$ Площадь ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ между сторонами равна: $S_{ромб} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

3. Сравнение площадей.
Квадрат является частным случаем ромба, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. В этом случае $\sin(90^\circ) = 1$, и площадь равна $a^2$. В условии задачи указано, что ромб не является квадратом. Это означает, что его углы не равны $90^\circ$. Для любого угла $\alpha$ в ромбе (который не является квадратом) справедливо, что $0 < \alpha < 180^\circ$ и $\alpha \neq 90^\circ$. Для таких углов значение синуса всегда меньше единицы: $0 < \sin(\alpha) < 1$ Теперь сравним выражения для площадей: $S_{кв} = a^2$ $S_{ромб} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$ Так как $a^2$ — положительная величина, а $\sin(\alpha) < 1$, то произведение $a^2 \cdot \sin(\alpha)$ будет строго меньше, чем $a^2$. $S_{ромб} < S_{кв}$

Таким образом, при одинаковом периметре площадь квадрата всегда больше площади любого ромба, который не является квадратом.

Ответ: Площадь квадрата больше площади ромба.