Номер 563, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции - номер 563, страница 151.

Условие.

563 Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения этой задачи сравним формулы для вычисления площадей квадрата и ромба, исходя из условия равенства их периметров.

1. Определение сторон.
Пусть сторона квадрата равна $a_{кв}$, а сторона ромба — $a_{ромб}$. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4 \cdot a_{кв}$. Периметр ромба вычисляется по формуле $P_{ромб} = 4 \cdot a_{ромб}$. По условию задачи, их периметры равны: $P_{кв} = P_{ромб}$ $4 \cdot a_{кв} = 4 \cdot a_{ромб}$ Отсюда следует, что стороны фигур равны: $a_{кв} = a_{ромб}$. Обозначим длину стороны обеих фигур как $a$.

2. Формулы площадей.
Площадь квадрата со стороной $a$ равна: $S_{кв} = a^2$ Площадь ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ между сторонами равна: $S_{ромб} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

3. Сравнение площадей.
Квадрат является частным случаем ромба, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. В этом случае $\sin(90^\circ) = 1$, и площадь равна $a^2$. В условии задачи указано, что ромб не является квадратом. Это означает, что его углы не равны $90^\circ$. Для любого угла $\alpha$ в ромбе (который не является квадратом) справедливо, что $0 < \alpha < 180^\circ$ и $\alpha \neq 90^\circ$. Для таких углов значение синуса всегда меньше единицы: $0 < \sin(\alpha) < 1$ Теперь сравним выражения для площадей: $S_{кв} = a^2$ $S_{ромб} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$ Так как $a^2$ — положительная величина, а $\sin(\alpha) < 1$, то произведение $a^2 \cdot \sin(\alpha)$ будет строго меньше, чем $a^2$. $S_{ромб} < S_{кв}$

Таким образом, при одинаковом периметре площадь квадрата всегда больше площади любого ромба, который не является квадратом.

Ответ: Площадь квадрата больше площади ромба.