Номер 569, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 569, страница 151.

569 Пусть a, b, c — стороны треугольника, P — периметр треугольника, r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника. Найдите:

а) r, если P = 56, S = 84;

б) S, если P = 144, r = 3,5;

в) a, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.

Для решения всех пунктов задачи используется формула, связывающая площадь треугольника $S$, его периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$:

$S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Поскольку полупериметр $p = \frac{P}{2}$, то формулу можно представить в виде: $S = \frac{P \cdot r}{2}$.

а)

По условию задачи, периметр $P = 56$, а площадь $S = 84$. Необходимо найти радиус вписанной окружности $r$.

Выразим радиус $r$ из основной формулы $S = \frac{P \cdot r}{2}$:

$2S = P \cdot r$

$r = \frac{2S}{P}$

Теперь подставим заданные значения в полученную формулу:

$r = \frac{2 \cdot 84}{56} = \frac{168}{56}$

Выполнив деление, получаем:

$r = 3$

Ответ: $r = 3$.

б)

По условию, периметр $P = 144$, а радиус вписанной окружности $r = 3,5$. Необходимо найти площадь треугольника $S$.

Воспользуемся формулой $S = \frac{P \cdot r}{2}$ и подставим в нее известные значения:

$S = \frac{144 \cdot 3,5}{2}$

Произведем вычисления:

$S = 72 \cdot 3,5 = 252$

Ответ: $S = 252$.

в)

По условию, известны две стороны треугольника $b = 15$ и $c = 20$, радиус вписанной окружности $r = 2$ и площадь $S = 42$. Необходимо найти третью сторону $a$.

Сначала найдем периметр треугольника $P$, используя данные о площади и радиусе вписанной окружности. Выразим $P$ из формулы $S = \frac{P \cdot r}{2}$:

$P = \frac{2S}{r}$

Подставим значения $S = 42$ и $r = 2$:

$P = \frac{2 \cdot 42}{2} = 42$

Периметр треугольника является суммой длин всех его сторон: $P = a + b + c$.

Зная периметр $P$ и длины сторон $b$ и $c$, мы можем найти сторону $a$:

$a = P - b - c$

Подставим известные значения:

$a = 42 - 15 - 20 = 42 - 35 = 7$

Ответ: $a = 7$.