Номер 571, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 571, страница 151.

571 Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне AB. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Рассмотрим любой треугольник, основанием которого является сторона $AB$, а третья вершина, назовем ее $D$, лежит на прямой $m$. Исходный треугольник $ABC$ является частным случаем такого треугольника, так как его вершина $C$ по условию лежит на прямой $m$.

У всех таких треугольников основание $AB$ общее. Следовательно, длина основания для всех них одинакова.

Высотой каждого такого треугольника, проведенной к основанию $AB$, является длина перпендикуляра, опущенного из вершины $D$ (лежащей на прямой $m$) на прямую, содержащую основание $AB$.

По условию задачи, прямая $m$ параллельна прямой, содержащей сторону $AB$ ($m \parallel AB$). Расстояние между двумя параллельными прямыми есть величина постоянная. Это означает, что длины всех перпендикуляров, проведенных из любой точки прямой $m$ к прямой $AB$, равны.

Следовательно, высоты всех рассматриваемых треугольников, проведенные к основанию $AB$, равны между собой. Обозначим эту постоянную высоту как $h$.

Таким образом, площадь любого треугольника с основанием $AB$ и вершиной на прямой $m$ равна $S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$. Так как и длина основания $|AB|$, и высота $h$ — постоянные величины, то и площадь всех таких треугольников будет одинаковой, что и требовалось доказать.

Ответ: У всех треугольников с вершинами на прямой $m$ и основанием $AB$ общее основание ($AB$) и равные высоты, так как высота каждого такого треугольника равна расстоянию между параллельными прямыми $m$ и $AB$. Поскольку площади треугольников вычисляются по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, а основание и высота у них одинаковы, то их площади равны.