Номер 570, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 570, страница 151.

570 В треугольник АВС вписана окружность радиуса 3 см, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках P, Q и R. Найдите площадь треугольника АВС, если AP = 5 см, BQ = 5 см, CR = 6 см.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки, и формулой для площади треугольника через радиус вписанной окружности.

1. Нахождение длин сторон треугольника.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, отрезки касательных от этой вершины до точек касания равны.

• Отрезки касательных из вершины $A$: $AR = AP$. Так как $AP = 5$ см, то $AR = 5$ см.
• Отрезки касательных из вершины $B$: $BP = BQ$. Так как $BQ = 5$ см, то $BP = 5$ см.
• Отрезки касательных из вершины $C$: $CQ = CR$. Так как $CR = 6$ см, то $CQ = 6$ см.

Теперь можем найти длины сторон треугольника $ABC$:

• $AB = AP + PB = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10$ см.
• $BC = BQ + QC = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 11$ см.
• $CA = CR + RA = 6 \text{ см} + 5 \text{ см} = 11$ см.

2. Вычисление полупериметра.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = AB + BC + CA = 10 + 11 + 11 = 32$ см.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

3. Вычисление площади треугольника.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле, использующей радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p$:
$S = p \cdot r$

Подставим известные значения: $p = 16$ см и $r = 3$ см.
$S = 16 \cdot 3 = 48$ см².

Ответ: 48 см².