Номер 573, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции - номер 573, страница 151.

Условие.

573 Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством площадей треугольников: если несколько треугольников имеют одинаковую высоту, то их площади относятся как длины их оснований.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести две прямые через вершину $A$, которые разделят его на три треугольника равной площади. Эти прямые пересекут противолежащую сторону $BC$ в некоторых точках. Обозначим эти точки как $D$ и $E$, так что они лежат между $B$ и $C$. В результате исходный треугольник $ABC$ будет разделен на три треугольника: $ABD$, $ADE$ и $AEC$.

Проведем высоту $h$ из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Эта высота $h$ является общей для всех трех полученных треугольников: $ABD$, $ADE$ и $AEC$.

Площади этих треугольников вычисляются по формулам:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h$
$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$
$S_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$

По условию задачи, площади этих трех треугольников должны быть равны: $S_{ABD} = S_{ADE} = S_{AEC}$.

Подставив выражения для площадей, получим равенство: $\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$.

Так как высота $h$ у всех треугольников одинакова и не равна нулю, мы можем сократить на $\frac{1}{2}h$. Это приводит нас к следующему выводу: $BD = DE = EC$.

Таким образом, чтобы площади треугольников были равны, их основания должны быть равны. Это означает, что точки $D$ и $E$ должны делить сторону $BC$ на три равных отрезка. Задача сводится к построению таких точек.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$.

2. Разделите сторону $BC$ на три равных отрезка. Это классическая задача на построение, которая выполняется с помощью циркуля и линейки.
- Из точки $B$ проведите произвольный луч, не лежащий на прямой $BC$.
- С помощью циркуля отложите на этом луче, начиная от точки $B$, три отрезка равной длины: $BP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
- Соедините последнюю точку $P_3$ с точкой $C$.
- Через точки $P_1$ и $P_2$ проведите прямые, параллельные отрезку $P_3C$.
- Точки пересечения этих прямых со стороной $BC$ и будут искомыми точками $D$ и $E$. Согласно теореме Фалеса, они разделят отрезок $BC$ на три равные части: $BD = DE = EC$.

3. Соедините вершину $A$ с построенными точками $D$ и $E$ при помощи отрезков $AD$ и $AE$.

Полученные прямые $AD$ и $AE$ делят треугольник $ABC$ на три треугольника $ABD$, $ADE$ и $AEC$, которые имеют равные площади, так как у них равные основания и общая высота.

Ответ: Чтобы разделить треугольник $ABC$ на три треугольника равной площади, необходимо провести две прямые из вершины $A$ к точкам на противоположной стороне $BC$, которые делят эту сторону на три равных отрезка.