Номер 573, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 573, страница 151.

573 Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством площадей треугольников: если несколько треугольников имеют одинаковую высоту, то их площади относятся как длины их оснований.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести две прямые через вершину $A$, которые разделят его на три треугольника равной площади. Эти прямые пересекут противолежащую сторону $BC$ в некоторых точках. Обозначим эти точки как $D$ и $E$, так что они лежат между $B$ и $C$. В результате исходный треугольник $ABC$ будет разделен на три треугольника: $ABD$, $ADE$ и $AEC$.

Проведем высоту $h$ из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Эта высота $h$ является общей для всех трех полученных треугольников: $ABD$, $ADE$ и $AEC$.

Площади этих треугольников вычисляются по формулам:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h$
$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h$
$S_{AEC} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$

По условию задачи, площади этих трех треугольников должны быть равны: $S_{ABD} = S_{ADE} = S_{AEC}$.

Подставив выражения для площадей, получим равенство: $\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot h$.

Так как высота $h$ у всех треугольников одинакова и не равна нулю, мы можем сократить на $\frac{1}{2}h$. Это приводит нас к следующему выводу: $BD = DE = EC$.

Таким образом, чтобы площади треугольников были равны, их основания должны быть равны. Это означает, что точки $D$ и $E$ должны делить сторону $BC$ на три равных отрезка. Задача сводится к построению таких точек.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$.

2. Разделите сторону $BC$ на три равных отрезка. Это классическая задача на построение, которая выполняется с помощью циркуля и линейки.
- Из точки $B$ проведите произвольный луч, не лежащий на прямой $BC$.
- С помощью циркуля отложите на этом луче, начиная от точки $B$, три отрезка равной длины: $BP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
- Соедините последнюю точку $P_3$ с точкой $C$.
- Через точки $P_1$ и $P_2$ проведите прямые, параллельные отрезку $P_3C$.
- Точки пересечения этих прямых со стороной $BC$ и будут искомыми точками $D$ и $E$. Согласно теореме Фалеса, они разделят отрезок $BC$ на три равные части: $BD = DE = EC$.

3. Соедините вершину $A$ с построенными точками $D$ и $E$ при помощи отрезков $AD$ и $AE$.

Полученные прямые $AD$ и $AE$ делят треугольник $ABC$ на три треугольника $ABD$, $ADE$ и $AEC$, которые имеют равные площади, так как у них равные основания и общая высота.

Ответ: Чтобы разделить треугольник $ABC$ на три треугольника равной площади, необходимо провести две прямые из вершины $A$ к точкам на противоположной стороне $BC$, которые делят эту сторону на три равных отрезка.