Номер 562, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 562, страница 151.

562 Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если бо́льшая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов — 45°.

Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая. По условию, $a = 15,2$ см. Один из углов параллелограмма равен $45°$. Пусть это будет острый угол $?$ между сторонами $a$ и $b$. Тогда тупой угол равен $180° - 45° = 135°$.

В параллелограмме есть две диагонали: меньшая $d_1$, которая лежит напротив острого угла, и большая $d_2$, которая лежит напротив тупого угла. Рассмотрим треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и большей диагональю $d_2$. Угол между сторонами $a$ и $b$ в этом треугольнике равен $135°$. В любом треугольнике сторона, лежащая напротив самого большого угла, является самой длинной. Так как угол $135°$ — тупой, диагональ $d_2$ будет длиннее и стороны $a$, и стороны $b$. Следовательно, большая диагональ не может быть равна одной из сторон параллелограмма.

Значит, условию задачи удовлетворяет только меньшая диагональ $d_1$. Она равна одной из сторон. Рассмотрим треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $d_1$. Угол между сторонами $a$ и $b$ в этом треугольнике равен $45°$. Применим теорему косинусов:$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°)$

Возможны два случая:

1. Меньшая диагональ равна большей стороне: $d_1 = a$. Подставим в формулу: $a^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°)$. $0 = b^2 - 2ab \cos(45°)$. Так как $b \neq 0$, можем разделить на $b$: $b = 2a \cos(45°)$. $b = 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$. Это означает, что $b > a$, что противоречит условию, что $a$ — большая сторона. Этот случай невозможен.
2. Меньшая диагональ равна меньшей стороне: $d_1 = b$. Подставим в формулу: $b^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(45°)$. $0 = a^2 - 2ab \cos(45°)$. Так как $a \neq 0$, можем разделить на $a$: $a = 2b \cos(45°)$. $a = 2b \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = b\sqrt{2}$. Это означает, что $a > b$, что соответствует условию задачи. Этот случай является верным.

Итак, мы установили, что стороны параллелограмма связаны соотношением $a = b\sqrt{2}$.

Площадь параллелограмма $S$ можно найти по формуле:$S = a \cdot b \cdot \sin(?)$Мы знаем, что $a = 15,2$ см, $? = 45°$ и $a = b\sqrt{2}$. Отсюда $b = \frac{a}{\sqrt{2}}$.Подставим все значения в формулу площади:$S = a \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \cdot \sin(45°)$Так как $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$S = a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2}{2}$Теперь вычислим площадь, подставив значение $a = 15,2$ см:$S = \frac{(15,2)^2}{2} = \frac{231,04}{2} = 115,52$ см$^2$.

Ответ: $115,52$ см$^2$.