Страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

574 Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

Доказательство того, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Пусть дан ромб с диагоналями $d_1$ и $d_2$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Эти диагонали разделяют ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его катеты равны половинам диагоналей ромба, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. Таким образом, площадь одного из четырех треугольников составляет:

$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{8}$

Поскольку ромб состоит из четырех таких равных треугольников, его общая площадь $S_{ромба}$ равна сумме их площадей:

$S_{ромба} = 4 \cdot S_{треуг.} = 4 \cdot \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Таким образом, формула площади ромба через его диагонали доказана.

Вычисление площади ромба:

а) Диагонали ромба равны 3,2 дм и 14 см.

Сначала приведем обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.

$d_1 = 3,2 \text{ дм} = 3,2 \cdot 10 \text{ см} = 32 \text{ см}$

$d_2 = 14 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь по формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 16 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 224 \text{ см}^2$

Ответ: $224 \text{ см}^2$.

б) Диагонали ромба равны 4,6 дм и 2 дм.

Единицы измерения уже одинаковы, поэтому можно сразу использовать формулу:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4,6 \text{ дм} \cdot 2 \text{ дм} = 4,6 \text{ дм}^2$

Ответ: $4,6 \text{ дм}^2$.

575 Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см².

Площадь ромба ($S$) вычисляется через его диагонали ($d_1$ и $d_2$) по формуле: $S = \frac{1}{2}d_1d_2$.

Пусть меньшая диагональ ромба $d_1 = x$ см.

Согласно условию, другая диагональ в 1,5 раза больше. Следовательно, большая диагональ $d_2 = 1.5x$ см.

Площадь ромба по условию равна $S = 27$ см?. Подставим известные значения в формулу площади и составим уравнение:

$27 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (1.5x)$

Решим полученное уравнение:

$27 = \frac{1.5}{2}x^2$

$27 = 0.75x^2$

$x^2 = \frac{27}{0.75}$

Так как $0.75 = \frac{3}{4}$, то:

$x^2 = \frac{27}{3/4} = 27 \cdot \frac{4}{3} = 9 \cdot 4 = 36$

$x = \sqrt{36} = 6$ (так как длина диагонали является положительной величиной).

Итак, мы нашли длину меньшей диагонали: $d_1 = 6$ см.

Теперь найдем длину большей диагонали:

$d_2 = 1.5x = 1.5 \cdot 6 = 9$ см.

Проверка: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 3 \cdot 9 \text{ см}^2 = 27 \text{ см}^2$. Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 6 см и 9 см.

576 В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Дано:
Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник.
$AC$ и $BD$ — его диагонали.
По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Доказать:
Площадь четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна половине произведения его диагоналей: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$.

Доказательство:
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как диагонали перпендикулярны, они разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих четырёх треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. В наших треугольниках катетами являются отрезки, на которые точка пересечения $O$ делит диагонали.

• Площадь $\triangle AOB$ равна $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO$
• Площадь $\triangle BOC$ равна $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot CO$
• Площадь $\triangle COD$ равна $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CO \cdot DO$
• Площадь $\triangle DOA$ равна $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} DO \cdot AO$

Теперь сложим площади всех треугольников, чтобы найти площадь четырёхугольника: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO + \frac{1}{2} BO \cdot CO + \frac{1}{2} CO \cdot DO + \frac{1}{2} DO \cdot AO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем слагаемые: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (AO \cdot BO + CO \cdot BO) + (CO \cdot DO + AO \cdot DO) )$

В каждой паре слагаемых в скобках вынесем общий множитель: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( BO \cdot (AO + CO) + DO \cdot (AO + CO) )$

Теперь можно вынести общий множитель $(AO + CO)$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (BO + DO) \cdot (AO + CO) )$

Заметим, что суммы длин отрезков в скобках равны длинам диагоналей четырёхугольника: $AO + CO = AC$
$BO + DO = BD$

Подставим эти значения в нашу формулу: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD \cdot AC$

Таким образом, мы доказали, что площадь выпуклого четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин этих диагоналей, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

577 Точки D и Е лежат на сторонах AB и АС треугольника ABC. Найдите: а) S_ADE, если AB = 5 см, АС = 6 см, АD = 3 см, АЕ = 2 см, S_ABС = 10 см²; б) AD, если AB = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см, S_ABC = 10 см², S_ADE = 2 см².

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Так как точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, то треугольники $ADE$ и $ABC$ имеют общий угол $A$.

Площадь треугольника $ABC$ выражается формулой: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Площадь треугольника $ADE$ выражается формулой: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle A)$.

Найдем отношение площадей этих треугольников, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$

Эта формула устанавливает, что отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол. Мы будем использовать эту формулу для решения обоих пунктов.

а) Найти $S_{ADE}$, если $AB = 5$ см, $AC = 6$ см, $AD = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10$ см?.

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 6}$

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{6}{30}$

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь выразим $S_{ADE}$:

$S_{ADE} = \frac{10}{5} = 2$ см?.

Ответ: $S_{ADE} = 2$ см?.

б) Найти $AD$, если $AB = 8$ см, $AC = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10$ см?, $S_{ADE} = 2$ см?.

Воспользуемся той же формулой отношения площадей. Подставим в нее известные значения:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$

$\frac{2}{10} = \frac{AD \cdot 2}{8 \cdot 3}$

Упростим обе части уравнения:

$\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot AD}{24}$

$\frac{1}{5} = \frac{AD}{12}$

Теперь выразим и вычислим $AD$:

$AD = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: $AD = 2.4$ см.

578 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если:

а) AB = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см;

б) ∠D = 30°, AB = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;

в) ВС ⊥ AB, AB = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

а) Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – это длины оснований, а $h$ – высота.
В данной задаче нам даны длины оснований $AB = 21$ см и $CD = 17$ см, а также высота $BH = 7$ см.
Подставим эти значения в формулу площади трапеции:
$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot BH = \frac{21 + 17}{2} \cdot 7$
$S_{ABCD} = \frac{38}{2} \cdot 7 = 19 \cdot 7 = 133$ см².
Ответ: 133 см².

б) В этом случае высота трапеции неизвестна. Чтобы найти её, опустим перпендикуляр (высоту) $AH$ из вершины $A$ на основание $CD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHD$. В нём гипотенуза $AD = 8$ см, а один из острых углов $\angle D = 30^\circ$. Высота трапеции $h = AH$ является катетом, противолежащим этому углу.
Известно, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Следовательно, $h = AH = \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.
Теперь, когда мы знаем высоту, можем вычислить площадь трапеции с основаниями $AB = 2$ см и $CD = 10$ см:
$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{2 + 10}{2} \cdot 4 = \frac{12}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$ см².
Ответ: 24 см².

в) Условие $BC \perp AB$ означает, что угол между боковой стороной $BC$ и основанием $AB$ равен $90^\circ$.
По определению трапеции, её основания $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).
Если прямая ($BC$) перпендикулярна одной из двух параллельных прямых ($AB$), то она перпендикулярна и второй прямой ($CD$). Значит, $BC \perp CD$.
Таким образом, данная трапеция является прямоугольной, а её боковая сторона $BC$ является высотой.
Высота трапеции $h = BC = 8$ см.
Теперь вычислим площадь трапеции с основаниями $AB = 5$ см и $CD = 13$ см:
$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{5 + 13}{2} \cdot 8 = \frac{18}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 8 = 72$ см².
Ответ: 72 см².

579 Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. В этом случае $AB$ является высотой трапеции, а углы при этой стороне — прямые, то есть $?A = 90°$ и $?B = 90°$.

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180°$. Для стороны $CD$ имеем $?C + ?D = 180°$. По условию задачи, больший угол трапеции равен $135°$. Так как углы $A$ и $B$ прямые, то этот угол может быть либо $?C$, либо $?D$. Если $?D = 135°$, то $?C = 180° - 135° = 45°$. Если же $?C = 135°$, то $?D = 180° - 135° = 45°$. Визуально в такой трапеции угол при меньшем основании ($?C$) — тупой, а угол при большем основании ($?D$) — острый. Таким образом, $?C = 135°$ и $?D = 45°$.

Для нахождения площади опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. Фигура $ABCH$ является прямоугольником, так как у нее все углы прямые ($?A=90°, ?B=90°, ?AHC=90°$). Следовательно, $AB = CH$ и $BC = AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. Мы знаем, что $?CDH = ?D = 45°$. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, то $?HCD = 90° - ?CDH = 90° - 45° = 45°$. Поскольку углы при основании $CD$ треугольника $CHD$ равны, то этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $CH = HD$.

Итак, мы установили следующие соотношения между сторонами трапеции:$AB = CH = HD$.$AD = AH + HD = BC + AB$.Боковую сторону $CD$ найдем по теореме Пифагора для $\triangle CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = AB^2 + AB^2 = 2AB^2$, следовательно, $CD = AB\sqrt{2}$.

По условию две меньшие стороны равны $6$ см. Сравним длины всех сторон: $AB$, $BC$, $CD = AB\sqrt{2}$ и $AD = BC + AB$.Очевидно, что $AD$ (сумма двух сторон) — самая длинная сторона.Сравним $AB$ и $CD = AB\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $CD > AB$.Значит, две самые короткие стороны трапеции — это высота $AB$ и меньшее основание $BC$.Таким образом, $AB = 6$ см и $BC = 6$ см.

Теперь мы можем найти все необходимые элементы для вычисления площади:Высота $h = AB = 6$ см.Меньшее основание $b = BC = 6$ см.Большее основание $a = AD = BC + AB = 6 + 6 = 12$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Подставляем найденные значения:$S = \frac{12+6}{2} \cdot 6 = \frac{18}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$ см?.

Ответ: 54 см?.

580 Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ является большим основанием. По условию, трапеция равнобедренная, следовательно, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), и углы при основаниях также равны.

Тупой угол трапеции равен $135^\circ$. Пусть это будет угол $\angle B = 135^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, острый угол при большем основании $\angle A$ равен:$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Проведем высоту $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В этом треугольнике $\angle BAH = \angle A = 45^\circ$ и $\angle BHA = 90^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку два угла в треугольнике $\triangle ABH$ равны, он является равнобедренным, а это значит, что его катеты равны: $AH = BH$.

Согласно условию, высота $BH$ делит большее основание $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$, длины которых равны $1,4$ см и $3,4$ см.

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка. Меньший из них равен полуразности оснований ($AH = \frac{AD - BC}{2}$), а больший — их полусумме ($HD = \frac{AD + BC}{2}$). Так как $AD > BC > 0$, то $HD > AH$. Следовательно, $AH = 1,4$ см, а $HD = 3,4$ см.

Поскольку $AH = BH$, мы можем найти высоту трапеции $h$:$h = BH = AH = 1,4$ см.

Теперь найдем длины оснований. Большее основание $AD$ равно сумме длин отрезков $AH$ и $HD$:$AD = AH + HD = 1,4 + 3,4 = 4,8$ см.Меньшее основание $BC$ найдем, используя формулу для отрезка $HD$:$HD = \frac{AD + BC}{2}$$3,4 = \frac{4,8 + BC}{2}$$6,8 = 4,8 + BC$$BC = 6,8 - 4,8 = 2$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$Можно заметить, что $\frac{AD + BC}{2}$ — это длина средней линии трапеции, которая равна отрезку $HD$.Таким образом, площадь можно вычислить как произведение $HD$ на высоту $BH$:$S = HD \cdot BH = 3,4 \cdot 1,4 = 4,76$ см².

Ответ: 4,76 см².