Номер 588, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 588, страница 157.

588 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

а)

Дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 12$ см, а высота, проведённая к основанию, $h_a = 8$ см.

1. Найдём площадь треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — основание, а $h_a$ — высота, проведённая к этому основанию.
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

2. Найдём боковую сторону. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка.
Эта высота делит исходный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами такого прямоугольного треугольника являются высота ($h_a = 8$ см) и половина основания ($\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см). Боковая сторона исходного треугольника является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. Обозначим её $b$.
По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$):
$b^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
$b = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: боковая сторона 10 см, площадь 48 см$^2$.

б)

Дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 18$ см, а угол, противолежащий основанию (угол при вершине), равен $120^\circ$.

1. Найдём боковую сторону. Обозначим боковую сторону как $b$. Проведём высоту из вершины к основанию. В равнобедренном треугольнике эта высота является также биссектрисой и медианой.
Как биссектриса, она делит угол при вершине пополам: $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Как медиана, она делит основание пополам: $\frac{18}{2} = 9$ см.
Высота делит наш треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них: гипотенуза — это боковая сторона $b$, один из острых углов равен $60^\circ$, а противолежащий этому углу катет равен 9 см.
Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике ($\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$):
$\sin(60^\circ) = \frac{9}{b}$.
Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{b} \implies b \cdot \sqrt{3} = 18 \implies b = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Найдём площадь треугольника. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами $b$.
$S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3})^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (36 \cdot 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: боковая сторона $6\sqrt{3}$ см, площадь $27\sqrt{3}$ см$^2$.

в)

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого высота, проведённая к гипотенузе, $h_c = 7$ см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике равные "боковые" стороны являются катетами, а "основанием" — гипотенуза.

1. Найдём гипотенузу и площадь. В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию (в данном случае, к гипотенузе), является также и медианой.
Следовательно, $h_c = \frac{c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.
$c = 2 \cdot h_c = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Теперь найдём площадь, используя гипотенузу как основание и данную высоту:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49$ см$^2$.

2. Найдём боковую сторону (катет). Обозначим равные боковые стороны (катеты) как $b$. По теореме Пифагора:
$b^2 + b^2 = c^2$
$2b^2 = 14^2 = 196$.
$b^2 = \frac{196}{2} = 98$.
$b = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$ см.

Ответ: боковая сторона $7\sqrt{2}$ см, площадь 49 см$^2$.