Номер 598, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 598, страница 157.

598 В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в треугольник, воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Дан равнобедренный треугольник с основанием $a = 10$ см и боковыми сторонами $b = 13$ см.

Сначала вычислим периметр $P$ и полупериметр $p$ треугольника:
$P = a + b + b = 10 + 13 + 13 = 36$ см.
$p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Далее найдем площадь треугольника $S$. Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $b$ и половиной основания $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2$
$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$.

Наконец, подставим найденные значения площади и полупериметра в формулу для радиуса вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Ответ: $\frac{10}{3}$ см.