Номер 1, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 1, страница 158.

1 Расскажите, как измеряются площади многоугольников.

Измерение площади многоугольника — это нахождение численной характеристики, которая показывает размер части плоскости, ограниченной этим многоугольником. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, см?, м?). За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины.

Основные свойства площади:

• Площадь любой фигуры является неотрицательным числом.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Если многоугольник разделен на несколько меньших многоугольников, его общая площадь равна сумме площадей этих частей (свойство аддитивности).

Существует несколько основных подходов к измерению площади многоугольников.

1. Метод разбиения (триангуляция)

Это универсальный и один из самых главных методов. Суть его в том, что любой простой многоугольник (то есть многоугольник без самопересечений) можно разбить на конечное число неперекрывающихся треугольников. Общая площадь многоугольника в этом случае будет равна сумме площадей всех треугольников, на которые он разбит.

Например, любой выпуклый n-угольник можно разделить на $n-2$ треугольника, проведя все диагонали из одной вершины. Зная, как вычислить площадь одного треугольника, можно найти и площадь всего многоугольника.

Если многоугольник $M$ разбит на треугольники $T_1, T_2, ..., T_k$, то его площадь $S(M)$ вычисляется как сумма их площадей:
$S(M) = S(T_1) + S(T_2) + ... + S(T_k) = \sum_{i=1}^{k} S(T_i)$

Ответ: Площадь произвольного многоугольника можно измерить, разбив его на простые фигуры, чаще всего треугольники, и просуммировав их площади.

2. Использование готовых формул для стандартных многоугольников

Для часто встречающихся типов многоугольников (правильных и неправильных) существуют специальные формулы, позволяющие вычислить их площадь по известным параметрам (сторонам, высотам, диагоналям, углам).

• Прямоугольник: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.
• Квадрат: $S = a^2$, где $a$ — длина стороны.
• Параллелограмм: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, проведенная к ней. Или $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a, b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними.
• Треугольник:
  • $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ (через основание и высоту).
  • Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны, а $p$ — полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.
  • $S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$ (через две стороны и угол между ними).
• Трапеция: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
• Ромб: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали.
• Правильный n-угольник: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $P$ — периметр, а $r$ — апофема (радиус вписанной окружности).

Ответ: Для стандартных многоугольников площадь измеряется путем подстановки известных линейных или угловых размеров в соответствующую математическую формулу.

3. Координатный метод (Формула площади Гаусса)

Этот мощный метод применяется, когда известны координаты вершин многоугольника $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$ в декартовой системе координат. Формула также известна как "формула шнурков" (shoelace formula) из-за наглядного способа ее вычисления.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + ... + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + ... + y_nx_1)|$

Или в более компактной форме через сумму:

$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$, где $(x_{n+1}, y_{n+1})$ считается равным $(x_1, y_1)$.

Ответ: Если многоугольник задан координатами своих вершин на плоскости, его площадь можно вычислить напрямую с помощью формулы площади Гаусса.

4. Теорема Пика

Этот метод подходит для многоугольников, вершины которых расположены в узлах целочисленной решетки (например, на клетчатой бумаге).

Формула Пика элегантно связывает площадь с количеством узлов решетки внутри и на границе многоугольника:

$S = I + \frac{B}{2} - 1$

Здесь:

• $I$ — количество целочисленных точек, находящихся строго внутри многоугольника.
• $B$ — количество целочисленных точек, лежащих на границе многоугольника (на сторонах и в вершинах).

Площадь $S$ измеряется в единицах, равных площади одной клетки решетки.

Ответ: Для многоугольника на клетчатой бумаге площадь можно найти, посчитав количество узлов сетки внутри и на границе фигуры и применив теорему Пика.