Номер 6, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 6, страница 158.

6 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Если $S$ — площадь треугольника, $a$ — длина одной из его сторон (основания), а $h_a$ — длина высоты, проведенной к этой стороне, то формула площади имеет вид: $$ S = \frac{1}{2} a h_a $$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$. Примем сторону $AC$ за основание и обозначим ее длину как $a$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к прямой $AC$ и обозначим ее длину как $h$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, проведя через вершину $B$ прямую, параллельную $AC$, и через вершину $C$ — прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть $D$ — точка пересечения этих прямых.

Четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом по построению. Диагональ $BC$ разделяет его на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. Их равенство можно доказать, например, по трем сторонам: $BC$ — общая сторона, $AB = DC$ и $AC = DB$ как противолежащие стороны параллелограмма.

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длины его основания на высоту. Для параллелограмма $ABDC$ основанием является сторона $AC$ длиной $a$, а высотой — отрезок $BH$ длиной $h$. Таким образом, площадь параллелограмма равна: $$ S_{ABDC} = AC \cdot BH = a \cdot h $$

Так как параллелограмм состоит из двух равных треугольников, площадь каждого из них равна половине площади параллелограмма. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ составляет: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC} = \frac{1}{2} a h $$ Теорема доказана.

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны на длину проведенной к ней высоты: $S = \frac{1}{2} a h$.

Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

В прямоугольном треугольнике две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Пусть их длины равны $a$ и $b$.

Для вычисления площади можно использовать общую теорему о площади треугольника. Если принять один из катетов, например $a$, за основание, то второй катет, $b$, будет высотой, так как он перпендикулярен основанию $a$.

Подставим значения основания ($a$) и высоты ($b$) в общую формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$: $$ S = \frac{1}{2} a \cdot b $$

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов.

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если длины катетов равны $a$ и $b$, то площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} ab$.