Номер 7, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 7, страница 158.

7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

Формулировка теоремы

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы.

Доказательство

Пусть даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию есть равный угол: $\angle A = \angle A_1$. Обозначим их площади как $S$ и $S_1$ соответственно.

Как известно, площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем формулу площади для каждого треугольника:

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$

$S_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$

Теперь найдем отношение площадей $S$ и $S_1$, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S}{S_1} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)}$

По условию теоремы $\angle A = \angle A_1$, а значит, и синусы этих углов равны: $\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$.

Мы можем сократить дробь на общий множитель $\frac{1}{2}$ и на равные синусы $\sin(\angle A)$ и $\sin(\angle A_1)$.

После сокращения получаем:

$\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы: $\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.