Номер 609, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 609, страница 159.

609 Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — меньшие стороны, а $AD$ и $BC$ — большие стороны. По условию, меньшая сторона равна 29 см, то есть $AB = 29$ см.

Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей $O$ к большей стороне $AD$, обозначим как $OH$, где $H$ — основание перпендикуляра на стороне $AD$. По условию, этот перпендикуляр делит сторону $AD$ на отрезки длиной 33 см и 12 см.

Таким образом, длина большей стороны $AD$ равна сумме длин этих отрезков: $AD = 33 + 12 = 45$ см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае, $S_{ABCD} = AD \cdot h_{AD}$. Найдем высоту $h_{AD}$.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Длина высоты $BK$ равна $h_{AD}$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $B$, $K$ и $D$. Поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Так как $BK$ и $OH$ оба перпендикулярны прямой $AD$, они параллельны друг другу ($BK \parallel OH$).

В $\triangle BKD$ отрезок $OH$ выходит из середины стороны $BD$ и параллелен стороне $BK$. Следовательно, по теореме о средней линии треугольника, $OH$ является средней линией $\triangle BKD$. Это означает, что точка $H$ является серединой отрезка $KD$.

Рассмотрим два возможных случая для отрезков, на которые точка $H$ делит сторону $AD$.

Случай 1: $AH = 33$ см и $HD = 12$ см

Поскольку $H$ — середина $KD$, то $KH = HD = 12$ см. Точки $A, K, H, D$ расположены на одной прямой, и так как $AH > KH$, точка $K$ лежит между $A$ и $H$. Длину отрезка $AK$ находим из соотношения $AH = AK + KH$: $AK = AH - KH = 33 - 12 = 21$ см.

Случай 2: $AH = 12$ см и $HD = 33$ см

Поскольку $H$ — середина $KD$, то $KH = HD = 33$ см. В этом случае $KH > AH$, поэтому точка $A$ лежит между $K$ и $H$. Длину отрезка $AK$ (или $KA$) находим из соотношения $KH = KA + AH$: $KA = KH - AH = 33 - 12 = 21$ см.

В обоих случаях мы получаем, что длина отрезка $AK$ равна 21 см. Этот отрезок является катетом в прямоугольном треугольнике $ABK$ (так как $BK$ — высота, $\angle AKB = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для $\triangle ABK$: $AB^2 = AK^2 + BK^2$

Отсюда находим высоту $BK$: $BK^2 = AB^2 - AK^2 = 29^2 - 21^2$

Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $BK^2 = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$

$BK = \sqrt{400} = 20$ см.

Итак, высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 20 см. Теперь можем найти его площадь:

$S_{ABCD} = AD \cdot BK = 45 \cdot 20 = 900$ см$^2$.

Ответ: $900$ см$^2$.