Номер 607, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 607, страница 159.

607 Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Пусть $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно. По условию, высоты равны 5 см и 4 см. В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая. Поэтому, если мы обозначим меньшую сторону как $a$, а большую как $b$, то высота, проведенная к стороне $a$, будет $h_a = 5$ см, а высота, проведенная к стороне $b$, будет $h_b = 4$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. Мы можем записать это двумя способами: $S = a \cdot h_a = a \cdot 5$ $S = b \cdot h_b = b \cdot 4$

Поскольку площадь одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения: $5a = 4b$ Из этого соотношения выразим одну сторону через другую: $a = \frac{4}{5}b$

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, периметр равен 42 см. $2(a+b) = 42$ $a+b = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $a = \frac{4}{5}b$ $a+b = 21$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе: $\frac{4}{5}b + b = 21$ $\frac{4b + 5b}{5} = 21$ $\frac{9b}{5} = 21$ $b = 21 \cdot \frac{5}{9} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{35}{3}$ см.

Теперь, зная $b$, мы можем найти площадь параллелограмма, используя формулу $S = b \cdot h_b$: $S = \frac{35}{3} \cdot 4 = \frac{140}{3}$ см$^2$.

Для проверки можно найти сторону $a$ и вычислить площадь через нее: $a = 21 - b = 21 - \frac{35}{3} = \frac{63 - 35}{3} = \frac{28}{3}$ см. $S = a \cdot h_a = \frac{28}{3} \cdot 5 = \frac{140}{3}$ см$^2$.

Результаты совпадают. Площадь параллелограмма равна $\frac{140}{3}$ см$^2$, что в виде смешанного числа равно $46\frac{2}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{140}{3}$ см$^2$ (или $46\frac{2}{3}$ см$^2$).