Номер 621, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 621, страница 160.

621 В треугольнике АBС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.

По условию задачи, дан треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина стороны $BC$. Перпендикуляр $MN$, проведенный из точки $M$ к прямой $AC$, пересекает сторону $AC$ в точке $N$.

Известны следующие длины: $BC = 34 \text{ см}$, $AN = 25 \text{ см}$ и $NC = 15 \text{ см}$.

1. Найдем длину стороны $AC$. Точка $N$ лежит на стороне $AC$, поэтому длина $AC$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $NC$:
$AC = AN + NC = 25 + 15 = 40 \text{ см}$.

2. Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Найдем длину отрезка $MC$:
$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17 \text{ см}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MNC$. Угол $\angle MNC = 90^\circ$, так как по условию $MN \perp AC$. По теореме Пифагора $MC^2 = MN^2 + NC^2$. Выразим и найдем длину катета $MN$:
$MN^2 = MC^2 - NC^2$
$MN^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$MN = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$.

4. Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$, где $BH$ – высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$.

5. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Так как $BH \perp AC$ и $MN \perp AC$, то прямые $BH$ и $MN$ параллельны ($BH \parallel MN$).

6. Рассмотрим треугольники $BHC$ и $MNC$.
- $\angle C$ – общий угол.
- $\angle BHC = \angle MNC = 90^\circ$ (так как $BH$ и $MN$ – перпендикуляры к $AC$).
Следовательно, треугольник $BHC$ подобен треугольнику $MNC$ ($\triangle BHC \sim \triangle MNC$) по двум углам.

7. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BH}{MN} = \frac{BC}{MC} = \frac{HC}{NC}$
Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{MC} = \frac{34}{17} = 2$.

8. Используя коэффициент подобия, найдем высоту $BH$:
$\frac{BH}{MN} = 2 \implies BH = 2 \cdot MN = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}$.

9. Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320 \text{ см}^2$.

Ответ: $320 \text{ см}^2$.