Номер 625, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 625, страница 160.

625 Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, трапеция является равнобедренной, ее диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), а сумма оснований равна $2a$ ($AD + BC = 2a$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ – высота трапеции.Подставив в формулу известную из условия сумму оснований, получаем:$S = \frac{2a}{2} \cdot h = a \cdot h$.Для нахождения площади необходимо найти высоту трапеции $h$.

Проведем высоту трапеции $h$ через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$ и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$, проведенных из вершины $O$. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

В равнобедренной трапеции треугольники, образованные диагоналями и основаниями, являются равнобедренными. Так как $\angle CAD = \angle BDA$ (как углы при основании $AD$ в равнобедренной трапеции), то треугольник $\triangle AOD$ — равнобедренный ($AO=DO$). Аналогично, треугольник $\triangle BOC$ — равнобедренный ($BO=CO$).

Поскольку по условию диагонали перпендикулярны ($\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$), то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными равнобедренными треугольниками.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ высота $h_1$, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $BC$, является также и медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Следовательно, $h_1 = \frac{1}{2} BC$.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $h_2$, проведенная к гипотенузе $AD$, равна ее половине: $h_2 = \frac{1}{2} AD$.

Теперь мы можем найти полную высоту трапеции $h$:$h = h_1 + h_2 = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} (BC + AD)$.

Используя условие $BC + AD = 2a$, находим высоту:$h = \frac{1}{2} (2a) = a$.

Наконец, вычисляем площадь трапеции, подставляя найденное значение высоты $h=a$ в ранее полученную формулу $S = a \cdot h$:$S = a \cdot a = a^2$.

Ответ: $a^2$.