Номер 631, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 631, страница 161.

631 В ромбе высота, равная 426 см, составляет 23 большей диагонали. Найдите площадь ромба.

Обозначим высоту ромба как $h$, большую диагональ как $d_1$, меньшую диагональ как $d_2$, сторону ромба как $a$ и площадь как $S$.

Из условия задачи мы знаем, что высота ромба $h = \frac{4\sqrt{2}}{6}$ см. Упростим это выражение:$h = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ см.

Также по условию высота составляет $\frac{2}{3}$ от большей диагонали $d_1$:$h = \frac{2}{3} d_1$

Найдем длину большей диагонали $d_1$, подставив в это равенство известное значение высоты $h$:$\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3} d_1$Разделив обе части уравнения на $\frac{2}{3}$, получаем:$d_1 = \sqrt{2}$ см.

Площадь ромба можно найти двумя основными способами: через произведение стороны на высоту и через половину произведения диагоналей.$S = a \cdot h$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Приравняем правые части этих формул, чтобы связать между собой сторону и диагонали:$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 d_2$Подставим известные значения $h = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $d_1 = \sqrt{2}$:$a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot d_2$Сократим обе части на $\sqrt{2}$:$a \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} d_2$Отсюда выразим меньшую диагональ $d_2$ через сторону $a$:$d_2 = \frac{4}{3} a$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника, в которых катеты равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза является стороной ромба $a$. По теореме Пифагора:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим в это уравнение известные $d_1 = \sqrt{2}$ и полученное выражение для $d_2 = \frac{4a}{3}$:$a^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\frac{4a}{3}}{2})^2$$a^2 = \frac{2}{4} + (\frac{4a}{6})^2$$a^2 = \frac{1}{2} + (\frac{2a}{3})^2$$a^2 = \frac{1}{2} + \frac{4a^2}{9}$

Решим полученное уравнение для нахождения $a^2$:$a^2 - \frac{4a^2}{9} = \frac{1}{2}$$\frac{9a^2 - 4a^2}{9} = \frac{1}{2}$$\frac{5a^2}{9} = \frac{1}{2}$$5a^2 = \frac{9}{2}$$a^2 = \frac{9}{10}$

Теперь мы можем найти площадь ромба по формуле $S = a \cdot h$. Чтобы не извлекать корень для нахождения $a$, возведем формулу площади в квадрат:$S^2 = a^2 \cdot h^2$Мы уже знаем, что $a^2 = \frac{9}{10}$. Найдем $h^2$:$h^2 = (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{8}{9}$Подставим значения $a^2$ и $h^2$ в формулу для $S^2$:$S^2 = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти площадь $S$:$S = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:$S = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ см$^2$.