Номер 636, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 636, страница 161.

636 Стороны AB и ВС прямоугольника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD в точке М, а диагональ BD в точке K. Найдите площадь четырёхугольника ABKМ.

Для решения задачи найдем площадь четырехугольника $ABKM$ как разность площадей прямоугольного треугольника $ABD$ и треугольника $MKD$.

1. Нахождение параметров прямоугольника и его диагонали.
По условию, $ABCD$ — прямоугольник. Его стороны равны $AB = CD = 6$ см и $BC = AD = 8$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ ($\angle A = 90^\circ$). Площадь этого треугольника равна: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину его гипотенузы $BD$, которая является диагональю прямоугольника: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Нахождение длин отрезков на диагонали.
Прямая, проходящая через вершину $C$, перпендикулярна диагонали $BD$ и пересекает ее в точке $K$. Таким образом, $CK$ является высотой в прямоугольном треугольнике $BCD$, проведенной к гипотенузе $BD$.
Площадь треугольника $BCD$ можно также вычислить через гипотенузу и высоту: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CK$. Поскольку $S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABD} = 24$ см$^2$, имеем: $24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CK$, откуда $CK = \frac{24}{5} = 4.8$ см.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для $\triangle BCD$: $CD^2 = BD \cdot KD$. $6^2 = 10 \cdot KD \implies 36 = 10 \cdot KD \implies KD = 3.6$ см.
Длина второго отрезка диагонали: $BK = BD - KD = 10 - 3.6 = 6.4$ см.

3. Нахождение длины отрезка MD.
Рассмотрим треугольники $MKD$ и $BCK$.

• $\angle MDK = \angle CBK$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).
• $\angle MKD = \angle BKC$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle MKD \sim \triangle BCK$ по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{MD}{BC} = \frac{KD}{BK}$.
Подставим известные значения: $\frac{MD}{8} = \frac{3.6}{6.4}$.
$MD = 8 \cdot \frac{3.6}{6.4} = 8 \cdot \frac{36}{64} = 8 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

4. Вычисление площади треугольника MKD.
Площадь $\triangle MKD$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем за основание отрезок $MD$, который лежит на прямой $AD$. Тогда высотой будет перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AD$. Обозначим эту высоту $h_K$.
Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KP$ к стороне $AD$. Тогда $h_K = KP$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $KPD$ и $BAD$:

• $\angle D$ — общий.
• $\angle KPD = \angle BAD = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle KPD \sim \triangle BAD$ по двум углам.
Из подобия следует: $\frac{KP}{BA} = \frac{KD}{BD}$.
$\frac{h_K}{6} = \frac{3.6}{10}$.
$h_K = 6 \cdot \frac{3.6}{10} = \frac{21.6}{10} = 2.16$ см.
Теперь вычислим площадь $\triangle MKD$: $S_{\triangle MKD} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h_K = \frac{1}{2} \cdot 4.5 \cdot 2.16 = 4.86$ см$^2$.

5. Вычисление площади четырехугольника ABKM.
Как было сказано вначале, искомая площадь равна разности площадей $\triangle ABD$ и $\triangle MKD$: $S_{ABKM} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle MKD} = 24 - 4.86 = 19.14$ см$^2$.

Ответ: $19.14$ см$^2$.