Номер 642, страница 165 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

642 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Решение

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Докажем, что $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$ (рис. 221, б). Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту АН, поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}.$ С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу (∠1=∠2), поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB·AD}{AC·AD}=\frac{AB}{AC}.$ Из двух равенств для отношения площадей получаем $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC},$ или $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC},$ что и требовалось доказать.

Требуется доказать, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Необходимо доказать, что выполняется соотношение $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Рассмотрим два треугольника $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, на которые биссектриса $AD$ делит исходный треугольник $ABC$. Отношение площадей этих треугольников можно выразить двумя способами.

1. Выразим площади через общую высоту.Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Эта высота будет общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH$Найдем отношение площадей этих треугольников:$$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD} $$

2. Выразим площади через синус угла.Площадь треугольника также можно вычислить как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними.$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$Поскольку $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, то по определению $\angle BAD = \angle CAD$. Следовательно, и синусы этих углов равны: $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.Найдем отношение площадей, используя этот подход:$$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC} $$

Приравнивая два полученных выражения для отношения площадей $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}$, получаем:$$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $$Данное равенство можно также записать в виде пропорции $\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}$.Таким образом, теорема о свойстве биссектрисы треугольника доказана.

Ответ: Доказано, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABC$ с биссектрисой $AD$ это свойство выражается формулой $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$.